1、11.3二项分布与正态分布探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题2015北京,16相互独立事件的概率样本的数字特征2.正态分布及其应用利用实际问题的频率分布直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2017课标,19正态分布及其应用数学期望分析解读1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握相互独立事件的概率求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌
2、握正态曲线的性质.4.相互独立事件的概率为近几年高考的热点,中等以下难度.破考点 练考向【考点集训】考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为()A.14B.34C.29D.59答案C2.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案13考点二正态分布及其应用3.在某次高三联考数学测试中,学生成绩服
3、从正态分布(100,2)(0),若在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115的概率为()A.0.25B.0.1C.0.125D.0.5答案C4.某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,2)(0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.150B.200C.300D.400答案C炼技法 提能力【方法集训】方法1独立重复试验及二项分布问题的求解方法1.(2018全国三模,8)某高三学生进行考试心理素质测试,场景相同的条件下每次通
4、过测试的概率为45,则连续测试4次,至少有3次通过的概率为()A.512625B.256625C.64625D.64125答案A2.(2017课标,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案1.963.(2018全国二模,13)设随机变量XB6,12,则P(X=3)=.答案5164.(2019铁东校级三模)设随机变量XB(2,p),若P(X1)=59,则D(X)=.答案49方法2正态分布及其应用方法5.(2019福建模拟)经统计,某市高三学生期末数学成绩XN(85,2),且P(80X90)=0.3,则从该市
5、任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是()A.0.35B.0.65C.0.7D.0.85答案A6.设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)答案C【五年高考】A组自主命题北京卷题组(2015北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两
6、组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,7.由题意可知P(Ai)=P(Bj)=17,i,j=1,2,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)设事件C为“甲的
7、康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11或a=18.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布(2015课标,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学
8、通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36 D.0.312答案A考点二正态分布及其应用1.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B2.(2017课标,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产
9、线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.用样
10、本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.997 4.0.997 4160.959 2,0.0080.09.解析本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8.X的数学期望
11、为EX=160.002 6=0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s0.212,得的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据
12、的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,因此的估计值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721 591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估计值为0.0080.09.C组教师专用题组1.(2014课标,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A2.(2014课标,18,12
13、分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z +)=0.682 6,
14、P(-2Z +2)=0.954 4.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 6.(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6
15、,依题意知XB(100,0.682 6),所以EX=1000.682 6=68.26.3.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等
16、奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意知,A1与A2相互独立,A1A2与A1A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B1+B2.因为P(A1)=410=25,P(A2)=510=12,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=2512=15,P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=251-12+1-2512=12.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15+12=710.(2
17、)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以XB3,15.于是P(X=0)=C30150453=64125,P(X=1)=C31151452=48125,P(X=2)=C32152451=12125,P(X=3)=C33153450=1125.故X的分布列为X0123P6412548125121251125X的数学期望为E(X)=315=35.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2020届北京清华附中朝阳学校开学摸底,4)已知随机变量X满足条件XB(n,p),且E(X)=12,D(X)=125,那么n与p的值分别为()A.16,45B
18、.20,25C.15,45D.12,35答案C2.(2020届北京铁二中开学摸底,7)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B二、填空题(共5分)3.(2019安徽金安校级模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(102,42),则114分以上的成绩所占的百分比为.(附:P(-X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5,P(-3X+3)=0.997 3)答案0.135%三、解答题(共15分)4.(2019云南昆
19、明模拟)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神,鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A、B、C,经引种试验后发现,引种树苗A的自然成活率为0.8,引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.7p0.9).(1)任取树苗A、B、C各一棵,估计自然成活的棵数为X,求X的分布列及E(X);(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n棵B种树苗,引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理,处理后成活的概率为0.8,其余的树苗不能成活.求一棵B种树苗最终成活的概率;若每棵树苗引种最终成活后可获利300元,不成活
20、的每棵亏损50元,该农户为了获利不低于20万元,问至少引种B种树苗多少棵?解析(1)依题意,X的所有可能值为0,1,2,3,则P(X=0)=0.2(1-p)2=0.2p2-0.4p+0.2;P(X=1)=0.8(1-p)2+0.2C21p(1-p)=0.8(1-p)2+0.4p(1-p)=0.4p2-1.2p+0.8;P(X=2)=0.2p2+0.8C21p(1-p)=0.2p2+1.6p(1-p)=-1.4p2+1.6p;P(X=3)=0.8p2,X的分布列为X0123P0.2p2-0.4p+0.20.4p2-1.2p+0.8-1.4p2+1.6p0.8p2E(X)=0(0.2p2-0.4p
21、+0.2)+1(0.4p2-1.2p+0.8)+2(-1.4p2+1.6p)+30.8p2=2p+0.8.(2)当p=0.9时,E(X)取得最大值.一棵B树苗最终成活的概率为0.9+0.10.750.8=0.96.记Y为n棵树苗的成活棵数,M(n)为n棵树苗的利润,则YB(n,0.96),则E(Y)=0.96n,又M(n)=300Y-50(n-Y)=350Y-50n,则E(M(n)=350E(Y)-50n=286n,要使E(M(n)200 000,则有n699.3,所以该农户至少引种700棵树苗,就可获利不低于20万元.思路分析(1)依题意得X的所有可能值为0,1,2,3,求出概率,得到分布列,然后求得期望.(2)当p=0.9时,E(X)取得最大值,然后求解一棵B树苗最终成活的概率.记Y为n棵树苗的成活棵数,M(n)为n棵树苗的利润,利用二项分布的概率以及期望求解即可.