1、股份有限公司第 1 页 共 12 页机密启用前2022 年邵阳市第二中学高考全真模拟考试数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上指定位置上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管。第卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1设集合lg(3),2,xMx
2、N yxNy yxM，则（）A MNB NMC0,1,2MND0,1,2,4MN 2已知复数 z 满足1 i2iz（其中i 为虚数单位），则 z （）A2B22C12D 23.已知、表示两个不同的平面，m、n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是()A，m，nmnB，mmC，m，m mD，m，nmn4.将 5 名志愿者分配到 4 个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到 1 个社区，每个社区至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A120 种B240 种C360 种D480 种5根据一组样本数据11,xy，22,xy，,nnxy，求得回归方程为 1.50.5yx，且3x.现发现这组样
3、本数据中有两个样本点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）误差较大，去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为 1.2，则（）A变量 x 与 y 具有负相关关系B去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的经验回归方程为 y=1.2x+1.4股份有限公司第 2 页 共 12 页D去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点（2，3.75）的残差为 0.056已知正项等比数列 na满足3212aaa，若存在ma，na，使得2116mnaaa，则1+4 的最小值为（）.A 83B16C114D 327已知向量 ae，1e，满足对任意tR，恒有 ateae，
4、则一定成立的是（）A0a e B()0aaeC()0eaeD()()0aeae8已知函数 f（x）ekx2+1，（k0），g（x）xlnx，若 kf（x）2g（x）恒成立，则实数 k 的取值范围为（）A1，+）Be，+）CD二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9已知函数 sincoscossin66f xxxxx，则下列结论正确的是（）A.sin 26f xxB.12x是 f x 图象的一条对称轴C.f x 的最小正周期为D.将 f x 的图象向左平移 6 个单位
5、后，得到的图象关于原点对称10.下列命题中正确命题的是()A.已知 a，b 是实数，则“(13)log3”的必要不充分条件；B.命题 P:(,0)，2 3C.函数 y=f(1+x)与 y=f(1 x)的图像关于直线 x=1 对称D.在等比数列 中，4，12是方程2+3+1=0 的两根，则8=111.已知O 为坐标原点，圆 M:（x cos）2+（y sin）2=1，则下列结论正确的是（）A.圆 M 与圆224xy内切B.直线 cossin0 xy与圆 M 相离C.圆 M 上到直线 x+y=2的距离等于 1 的点最多两个股份有限公司第 3 页 共 12 页D.过直线 x+y=3 2上任一点 P
6、作圆 M 的切线，切点为 A,B,则四边形 PAMB 面积的最小值为 312.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A三棱锥 A1-BDC1外接球表面积为 3B三棱锥 P-A1BD 的体积为定值C过点 P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCDA B C D截得的多边形的面积为 3D直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为36,33三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若随机变量23,XN，且(5)0.2P X，则(15)PX等于_14.若(2)展开式中只有第五
7、项的二项式系数最大，则展开后的常数项为_15.已知函数 f(x)=2ex1+ex，若不等式 f(1 ax)+f(x2)2 对0,x 恒成立，则实数 a的取值范围_16.已知双曲线 C：24 22=1（b0），直线 m：x+y+20.若直线 m 平行双曲线 C 的一条渐近线,则 b=;若在直线 m 上存在点 P 满足：过点 P 能向双曲线 C 引两条互相垂直的切线，则双曲线 C 的离心率取值范围是第卷四解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，且 432nnaS（1）求数列 na的通项公式；（2）设2lo
8、gnnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT 18.（12 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 22 coscbaB（1）求角 A 的大小；（2）若1b ，2c，点 D 在边 BC 上，且2CDBD，求线段 AD 的长股份有限公司第 4 页 共 12 页19（12 分）2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了 10 所学校进行
9、研究，得到如下数据：(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过 30 人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这 10 所学校中随机选出 3 所，记 X 为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求 X 的分布列和数学期望；(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃，停止”这 4 个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试规定：在一轮测试中，这 4 个动作中至少有 3 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为23，其余每个动作达到“优秀”的概率都为 13，每个动作互不影响且每轮测试互不影响如果小明同
10、学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到 5 次，那么理论上至少要进行多少轮测试？20（12 分)如图，在直三棱柱111ABCA B C中，ACBC，=2，D 为 AB 的中点，(1)求证：BC1平面 C1(2)若三棱锥 A1B1DC 的体积等于 2，求二面角 C-A1D-C1 的余弦值.股份有限公司第 5 页 共 12 页21.（12 分）,A B 是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点，M 是椭圆C 上位于 x 轴上方的动点，直线,AM BM 与直线4:xl分别交于DC,两点，当 M 点的坐标为3(1,)2时，AMMC.（1）求椭圆C 的方程；（2）记 MAB和 MCD
11、的面积分别为1S 和2S.求12SS的取值范围.22（12 分）已知函数 f（x）mx22ax+lnx（m，aR）在 x1 处的切线斜率为 22a（1）确定 m 的值，并讨论函数 f（x）的单调性；（2）设 g（x）xf（x）12 3+2x，若 g（x）有两个不同零点 x1，x2，且 x23x10，证明：x1+x2祝各位考生考试成功，金榜题名！股份有限公司第 6 页 共 12 页邵阳市二中 2022 届模拟考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题 5 分，共 40 分.12345678DACBCDCD二、多选题：每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：每小题 5 分，共 20 分.(
12、13)_0.6_；（14）_1120_（15）(,2；（16）2,(1，62.8.解：kf（x）2g（x），对x（0，+）恒成立，即 kekx+k2xlnx，化为：kxekx+kxx2lnx2+lnx2，令 h（t）tlnt+lnt，t（0，+），h（t）1+lnt+u（t），u（t），可得 t1 时，函数 u（t）取得极小值即最小值，u（1）20，h（t）0 恒成立，函数 h（t）在 t（0，+）上单调递增，而 h（ekx）h（x2），ekxx2，kx2lnx，即 k，令 v（x），x（0，+），v（x），可得 xe 时，函数 v（x）取得极大值即最大值k故选：D12.对于 A 选项,三棱锥
13、 A1-BDC1外接球即为正方体的外接球，A 对对于 B 选项，因为11/BBDD 且11BBDD，故四边形11BB D D 为平行四边形，所以，11/B DBD，11B D Q平面1A BD，BD 平面1A BD，11/B D平面1A BD，11PB D，所以点 P 到平面1A BD 的距离等于点1D 到平面1A BD 的距离，111111122A DDSA DDD，11111111136P A BDDA BDB A DDA DDVVVSAB，B 对；对于 C 选项，11/A BCD且11A BCD，则四边形11A B CD 为平行四边形，所以，11/A D B C，1B C 平面1A BD
14、，1A D 平面1A BD，所以，1/B C平面1A BD，又因为11/B D平面1A BD，1111B CB DB，所以，平面11/B CD平面1A BD，所以，过点 P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCDA B C D截得的多边形为11B CD，9101112ACADACDABD股份有限公司第 7 页 共 12 页易知11B CD是边长为2 的等边三角形，该三角形的面积为233242，C 错；设点 P 到平面1A BD 的距离为 h，由1116P A BDAPBDVV知，点 P 到平面1A BD 的距离为1113336332P A BDA BDVhS，当点 P 在线段11
15、B D 上运动时，若 P 为11B D 的中点时，111PAB D，111min1222PAB D，当点 P 为线段11B D 的端点时，1 max1PA，设直线1PA 与平面1A BD 所成角为，136sin,33hPA，D 正确；故选：ABD.16.解：设过 P 点（m，n）且与双曲线相切的直线方程为 yk（xm）+n，nm2，由，可得 b2x24k2（x22mx+m2）+n2+2kn（xm）4b2，即为（b24k2）x2+（8k2m8kn）x4k2m24n2+8kmn4b20，64（k2mkn）2+4（b24k2）（4k2m2+4n28kmn+4b2）0，化简可得（b2m24b2）k22
16、b2mnk+b2n2+b40，即（m24）k22mnk+n2+b20，两根设为 k1，k2，k1k21，即为（m+2）2+b24m2，即为 m2+4m+4+b24m2，2m2+4m+b20 看做关于 m 的方程，168b20，可得 0b22，所以双曲线的离心率 e（1，故答案为：（1，（提示：也可以用蒙日圆思想来处理;点 P 的轨迹方程：x2+y2=4-b2,转化直线与圆有公共点，）17.解：（1）432nnaS，当1n 时，11432aa，即12a 当2n时，11432nnaS股份有限公司第 8 页 共 12 页由得1443nnnaaa，即14nnaa 数列na是以 2 为首项，4 为公比的
17、等比数列12 4nna 5 分（2）由（1）知121222loglog24log 221nnnan12log2 421nnnnbaan ，22 142 411211423nnnnnTn10 分18.解：（1）在ABC中，由正弦定理得2sinsin2sin cosCBAB因为sinsinsinCABAB，代入得2sincos2cos sinsin2sincosABABBAB即2cos sinsin0ABB又sin0B，所以1cos2A 又0,A，所以23A5 分（2）在ABC中，由余弦定理得2222cos7abcbcA所以7a，1733BDa在ABC中，由余弦定理得2225 7cos214acb
18、Bac在ABD中，由余弦定理得222132cos9ADABBDABBDB，所以133AD 12 分19.(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过 30 人的学校共 5 所，X 的所有可能取值为 0,1,2,3，所以 P(X=0)=C53C103=112，P(X=1)=C52C51C103=512，P(X=2)=C52C51C103=512，P(X=3)=C53C103=112，所以 X 的分布列如下表：X0123P112512512112所以 E(X)=1 512+2 512+3 112=32.5 分(2)记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件 A，P(A)=23 32 132
19、23+13 33 133+23 33 133=5278 分股份有限公司第 9 页 共 12 页由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，527由题意列式527 5，得到 n 27，因为Nn，所以 n 的最小值为 27，故至少要进行 27 轮测试.12 分20.解答：1）连接 AC1 交 A1C 于 E，连接 DE.四边形 AA1C1C 是平行四边形，所以 E 是 AC1 的中点，D 是 AB 的中点，DE BC1,又 DE 平面 CDA1，BC1 平面 CDA1.5 分2)直三棱柱111ABCA B C中，BB1平面 ABC，所以 BB1CD.=，又 D 为 AB 的中点，则
20、 CDAB.CD平面 ABB1A1.CD=12AB=2.2222123131V1A1111BBSCDDBADCB31 BBCC1平面 ABC，如图建立空间直角坐标系则 D(1,0,1),A1(0,3,2),C1(0,3,0)3,2,3(,3-,0230,00),(的一个法向量CDA设平面11nzzyzxCAnCDnzyxn则令则7 分.1055.10555211221029nmnmn,mcos013m111111的余弦值为二面角为锐二面角二面角），（的一个法向量同理可得，平面CDACCDACDAC12 分21 解：（1）由 AMMC可得1()4 1a ，2a，-1分把3(1,)2M代入椭圆C
21、的方程得213144b，解得1b -3 分所以椭圆C 的方程为2214xy-4 分（2）显然直线 AM 存在斜率，设直线 AM 的方程为(2)yk x，(k0)由2214(2)xyyk x得2222(41)161640kxk xk，-5 分股份有限公司第 10 页 共 12 页设00(,)M xy，则202164241kxk，2022841kxk，从而02441kyk，即222284(,)41 41kkMkk，-7 分10218214kSAB yk，又14BMkk，直线 BM 的方程为1(2)4yxk，得1(4,)2Dk，(4,6)Ck，222202211128(121)4|6|(4)2221
22、42|(14)kkSCDxkkkkk，-9 分则22122242221616161(121)12414414424SkkSkkkkk22161312 14424kk当且仅当221144kk，即36k 时取等号，故12SS的取值范围为1(0,3.-12 分22.（1）解：因为 f（x）mx22ax+lnx，x0，所以 f（x）mx2a+，-1因为 f（x）在 x1 处的切线斜率为 22a，所以 f（1）m2a+122a，即 m1，-2 分所以 f（x）x2a+，令 h（x）x22ax+1，4a24，当0，即1a1 时，h（x）0 恒成立，即 f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增；当0
23、，即 a1 或 a1 时，令 h（x）0，可得 xa，当 a1 时，a0，a+0，h（0）10，此时 h（x）0 在（0，+）上恒成立，即 f（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 f（x）在（0，+）上单调递增；当 a1 时，a0，a+0，当 x（0，a）（a+，+）时，h（x）0，即 f（x）0，当 x（a，a+）时，h（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）在（a，a+）上单调递减，在（0，a）和（a+，+）上单调递增综上所述，当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增；股份有限公司第 11 页 共 12 页当 a1 时，f（x）在（a，a+）上单调递减，在（0，a）和（a+，+）上单调
24、递增-6 分（2）证明：g（x）xf（x）+2x2ax2+xlnx+2x，由（1）得 m1，即 g（x）xlnx2ax2+2x，因为 g（x）有两个不同零点 x1，x2，即，lnx12ax1+2+lnx22ax2+20，即 2a（x1+x2）lnx1x2+4，lnx12ax1+2（lnx22ax2+2）0，即 ln2a（x2x1），2a，-8 分所以 2a（x1+x2）lnln，因为 x23x10，所以3，设 t，k（t）lnt，-10 分所以 k（t），令 m（t）2lnt+t，所以 m（t）+1+0，所以 m（t）为增函数，m（t）m（3）2ln3+0，即 k（t）0，所以 k（t）k（3）2ln3，所以 lnx1x2+42ln3，即 lnx1x22ln342（ln32）2lnln，所以 x1x2，所以，因为 x1x2，所以 x1+x22，所以 x1+x2，得证12 分