1、第二节两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax
2、ByC0的距离：d. (3)平行线AxByC10与AxByC20间距离：d . 熟记常用结论1过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(xx0)B(yy0)0(A2B20)，还可以表示为yy0k(xx0)和xx0.2平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)3垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.4过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)和A2xB2yC20.5点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)6点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，
3、关于直线yx的对称点为(y，x)7点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x,2by)8点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax,2by)9点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)两平行直线2xy10,4x2y10间的距离
4、是0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1两条直线l1：2xy10和l2：x2y40的交点为()A.B.C.D.解析：选B解方程组得所以两直线的交点为.2若直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为()A3B.C2D3解析：选D直线ax2y10的斜率k1，直线2x3y10的斜率k2，因为两直线垂直，所以1，解得a3.3已知直线l1：xy10，l2：xy10，则l1，l2之间的距离为()A1B.C.D2解析：选B由题意可知l1与l2平行，故l1与l2之间的距离d，故选B.4已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_.解析：由题意得，1，|a1|，a0，a
5、1.答案：15已知坐标平面内两点A(x，x)和B，那么这两点之间距离的最小值是_解析：由题意可得两点间的距离d ，即最小值为.答案： 典例精析(1)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3B1或5C3或5 D1或2(2)已知直线l1：mxy40和直线l2：(m2)xny10(m0，n0)互相垂直，则的取值范围为_解析(1)由两直线平行得，当k30时，两直线的方程分别为y1和y，显然两直线平行当k30时，由，可得k5.综上，k的值是3或5.(2)因为l1l2，所以m(m2)1(n)0，得nm22m，因为m0，所以，则0，故的取值范围为.答案(
6、1)C(2) 解题技法1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2平行的充要条件(A2B2C20)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2相交的充要条件(A2B20)l1与l2重合的充要条件(A2B2C20)提醒在判断两直线的位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择题、填空题时，建议多用比例式来解答过关训练1
7、设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C当m2时，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.2已知直线4xmy60与直线5x2yn0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为()A7B.9C11D7解析：选A由直线4xmy60与直线5x2yn0垂直得，202m0，即m10.直线4x10y60过点(t,1)，所以4t1060，即t1.点(1,1)又在直线5x2yn0上，所以52n0，即n7.
8、 典例精析(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_(2)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为_解析(1)由方程组解得交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.(2)因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.答案(1)(2)解题技法距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线
9、的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题过关训练1(2019太原模拟)若直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为()A.B.C2D2解析：选A由解得x1，y2.把(1,2)代入mxny50，可得m2n50，m52n.点(m，n)与原点之间的距离d，当n2，m1时取等号点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A.2(2019厦门模拟)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则实数c的值是_
10、解析：依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6.答案：2或63已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_解析：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB所在直线的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立解得或所求点P的坐标为(1，4)或.答案：(1
11、，4)或 考法全析考法(一)点关于点的对称例1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析设直线l1与直线l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.答案x4y40点关于点对称的求解方法若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解考法(二)点关于线的对称例2(2019银川月考)点P(2,5)关于xy10对称的点的坐
12、标为()A(6,3) B(3，6)C(6，3) D(6,3)解析设点P(2,5)关于xy10的对称点为Q(a，b)，则解得即P(2,5)关于xy10对称的点的坐标为(6，3)故选C.答案C点关于直线对称的解题方法若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)考法(三)线关于点的对称例3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为_解析在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B(3，5)，C(12，11)，所以直线m
13、的方程为，即2x3y90.答案2x3y901线关于点对称的求解方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2线关于点对称的实质“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”过关训练1已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4)B.(2，4)C(2,4)D(2，4)解析：选C设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则
14、解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2,4)2已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得即M(1,0)又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy603设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_解析：由|PA|PB|知点P在AB的垂直平分线上由点P的横坐标为3，且PA的方程为xy10，得P(3，4)
15、直线PA，PB关于直线x3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为，即xy70.答案：xy70 一、题点全面练1若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点()A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)解析：选B由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.2若点P在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2)B.(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)解析：选C
16、设P(x,53x)，则d，化简得|4x6|2，即4x62，解得x1或x2，故P(1，2)或(2，1)3已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为()A0B.1C6D0或6解析：选C由直线l的倾斜角为得l的斜率为1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，1)，所以l1的斜率为，故1，解得a6.4(2018北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()Axy10B.xy10Cxy10Dxy10解析：选A因为直线AB的斜率为1，所以直线l的
17、斜率为1.设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.故选A.5已知点P(2,0)和直线l：(13)x(12)y(25)0(R)，则点P到直线l的距离d的最大值为()A2B.C.D2解析：选B由(13)x(12)y(25)0，得(xy2)(3x2y5)0，此方程是过直线xy20和3x2y50交点的直线系方程解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d|PH|PQ|，即d的最大值为.6已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行
18、直线间的距离为_解析：若直线l1的倾斜角为，则aktan1，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.答案：1127将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.答案：8以点A(4,1)，B(1,5)，C(3,2)，D(0，2)为顶点的四边形ABCD的面积为_解析：因为kAB，kDC.kAD，kBC.则kABkDC，kADkBC，所
19、以四边形ABCD为平行四边形又kADkAB1，即ADAB，故四边形ABCD为矩形故S四边形ABCD|AB|AD|25.答案：259正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.10已知点P
20、(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过点P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时直线l的方程为3x4y100.综上可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，
21、得klkOP1，因为kOP，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2019青岛模拟)直线xa2y60和(a2)x3ay2a0无公共点，则a的值为()A3或1B.0或3C0或1D1或0或3解析：选C两直线无公共点，即两直线平行当a0时，这两条直线分别为x60和x0，无公共点；当a0时，由，解得a3或a1.若a3，这两条直线分别为x9y60，x9y60，两直线重合，有无数个
22、公共点，不符合题意，舍去；若a1，这两条直线分别为xy60和3x3y20，两直线平行，无公共点综上，a0或a1.2已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，则满足条件的直线l共有()A1条B.2条C3条D4条解析：选C当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条又|AB|，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线综上可知满足条件的直线共有3条故选C.3l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直
23、时，两条平行直线间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k，此时，直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y304若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意答案：x3y50或x15在平面直角坐标系中，已知点P(2,2)，直线l：a(x1)b(y2)0(a，bR且不同
24、时为零)，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是_解析：易知直线l经过定点(1，2)，则点P到直线l的最大距离为5，最小距离为0，所以d的取值范围是0,5答案：0,5(二)交汇专练融会巧迁移6与导数交汇若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A.B1C.D2解析：选C因为点P是曲线yx2ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小因为直线yx2的斜率等于1，曲线yx2ln x的导数y2x，令y1，可得x1或x(舍去)，所以在曲线yx2ln x上与直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线yx2的最小
25、距离为，故选C.7.与不等式交汇如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3)ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S 6(当且仅当a24时取等号)答案：68与物理知识交汇如图，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为_解析：从特殊位置考虑如图所示，点A(2,0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2,4)，kA1F4.又点E(1,0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2,1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，kFDkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)