1、德阳市高中2015届 “三诊”考试数学试卷（文史类）说明：1.本试卷分第卷和第卷，第卷1-2页，第卷3-4页考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效考试结束后，将答题卡交回2.本试卷满分150分，120分钟完卷第卷 （选择题 共50分）参考公式：如果事件、互斥，那么球的表面积公式：（其中表示球的半径）球的体积公式：（其中表示球的半径）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数满足，则的虚部为ABCD【答案】D【解析】由题意知【考点】复数的模及复数运算2.若全集，则集合可以是ABCD【答案】A【解析】由，
2、可知【考点】集合的补集运算3.两条不重合的直线、和平面，则“，”是“”的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故满足充分性；但，不一定满足都与垂直【考点】空间中的线面关系4.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而同一学段男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的方法是A简单随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样【答案】C【解析】因为各学段视力情况差异较大，故采用按学段分层抽样【考点】分层
3、抽样5.顶点在原点，经过圆的圆心且准线和轴垂直的抛物线方程为ABCD【答案】B【解析】因为抛物线的准线与轴垂直，故可设抛物线方程为，因为圆心在抛物线上，所以，故抛物线方程为【考点】抛物线的方程6.设函数的图象上的点处的切线的斜率为，若，则函数的图象大致为【答案】A【解析】由，得，故，该函数为奇函数，故排除B、C，又在且时，排除D【考点】函数图象与函数的性质7.执行如图所示的程序框图，输出的值是A4B5C6D7 【答案】B【解析】；输出【考点】程序框图8.设，满足约束条件若目标函数（，）的最大值为6，则的最小值为A1B2C3D4【答案】A【解析】分析可知，当目标函数线经过点时取得最大值，故，即所
4、以当且仅当时等号成立所以，即的最小值为1【考点】线性规划及均值不等式9.在中，、分别为角、所对应的三角形的边长，若，则ABCD【答案】D【解析】由，得因为、不共线，所以整理得所以【考点】向量的线性运算及余弦定理10.已知函数，函数，则下列判断不正确的是A若，则有一个零点B若，则有两个零点C若，则有四个零点D若，则有三个零点【答案】C【解析】作出函数的图象，如图所示令，得，解得，所以时，该方程有两个根，不妨设为、，且，由，得，由函数的图象可知，有一个根，最多有两根，故关于的方程最多有3个根，即最多有三个零点，故C错误【考点】函数的图象与函数的零点第卷 （非选择题 100分）二、填空题：本大题共5
5、小题，每小题5分，共25分将答案填在答题卡对应题号后横线上11.点为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随即取一点，则劣弧的长度小于1的概率为 【答案】【解析】到圆上点距离小于1的点所在弧长为2，故其概率为【考点】几何概型12.表面积为的球，其内接长方体的高为14，且底面是正方形，则此长方体的表面积为 【答案】【解析】由题意设球的半径为，则，解得设长方体底面正方形的边长为，则，解得，故长方体的表面积为【考点】长方体与球的组合体问题13.设角、是锐角，若，则 【答案】【解析】由，展开得，整理得，故因为、是锐角，所以，故【考点】两角和的正切公式14.已知双曲线（，）的焦点分别是、，焦距为，双
6、曲线上存在一点，使直线与圆相切于的中点，则双曲线的离心率是 【答案】【解析】如图，在直角三角形中，故，故，由，可得，故，故【考点】双曲线的离心率15.函数的图象很象网络流行的“囧”字的内部，我们不妨把它称为“囧函数”，现有以下命题，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）的图象不关于原点对称；的最小值为；对于定义域内任意两正数、，若，则；的导函数有零点；对于上的任意实数，恒有【答案】【解析】函数的定义域为，关于原点对称，但，故该函数不是奇函数，即的图象不关于原点对称，故对；因为，且，所以或，故无最小值，故错；，因为，所以，故函数在和为减函数，且当时，当时，故错误；由，解得，即的导函数有零点，故
7、正确；设，则该函数为凹函数，故，从而，故错误【考点】函数的性质三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（2）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40的概率【答案】（1）3；（2）【解析】试题分析：（1）分层抽样又叫比例抽样，先求出抽样比，
8、然后求出大于40岁的观众应抽取人数；（2）抽取的5人中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，分别求出任取2名的所有情况和恰有1名年龄在20至40之间的情况，作比即可试题解析：（1）从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为，故大于40岁的观众应抽取（人）（2）抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁人为，20至40岁的人为，则从5人中抽取2人的基本事件有，共10个，其中恰有1人为20岁至40岁的有6个故所求概率为17.（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为（1）求函数图象的对称轴和单调递减区间；（2）若函数，求函数在区间
9、上的最小值和最大值【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为“一角一函数”，然后根据最小正周期为，即可求出函数解析式，进而求出函数的对称轴与单调递减区间；（2）根据，即可求出，通过的区间，即可求出的范围为，进而求出在此区间上的最小值和最大值试题解析：由于函数的最小正周期为，故故函数（1）令（），得：，令，得，即函数的单调递减区间是（2）由于，则，故当，即时函数取得最大值；当，即时函数取得最小值18.（本小题满分12分）一个多面体的直观图即三视图如图所示（其中、分别是、的中点）（1）求证：平面；（2）求多面体的体积【答案】（1）（略）；（2）【解析】试题分析：（1）连接
10、，可知为的中位线，故，从而即可证明平面；（2）取的中点，连接，即可证明平面，从而可知即为多面体的高试题解析：由三视图可知：，（1）证明：连接、，则为中位线，平面，平面，平面（2）解：取的中点，在直三棱柱中，平面平面，平面平面平面多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥在中，棱锥的体积为19.（本小题满分12分）已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和（）（1）求数列的通项公式；（2）设，其中，试比较与的大小，并证明你的结论；（3）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）（）；（2）当时，；当时，；当时，；（3）【解析】试题分析：（1）易得，然后根据已知前项和求通项的方法即可求出数列的通项公式；（
11、2）求出、，然后作差讨论即可；（3）通过，求出的的通项公式，然后利用乘公比错位相减法即可求出试题解析：（1）的图象过原点，当时，又适合，数列的通项公式（）（2），组成以0为首项，6为公差的等差数列，组成以18为首项，4为公差的等差数列，故对于正整数，当时，；当时，；当时，（3）由，得（）， ，两式相减得：，20.（本小题满分13分）椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设是过原点的直线，不垂直于轴的直线与垂直相交于点、于椭圆相交于、两点，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）直线不存在【解析】试题分析：
12、（1）因为焦点在轴上，且为椭圆的一个顶点，故；根据右焦点到直线的距离为，可求出，进而求出椭圆的方程；（2）根据，可得，再根据，即可得，从而转化为，然后联立方程求出两根关系代入上式即可得出矛盾，故直线不存在试题解析：（1）设右焦点为，则由点到直线的距离公式，得，又，故椭圆的方程为（2）设、两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在设的方程为，由与垂直相交于点且，得，即，即将代入椭圆方程，得由此可得： ，将代入上式并化简得 将代入并化简得，矛盾直线不存在21.（本小题满分14分）已知函数，其中且（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若时，函数有极值，求函数图象的对称中心坐标；（3）当时，设函数（是自
13、然对数的底数），是否存在实数，使在上为减函数，若存在，求的范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）和；（2）；（3）存在，且【解析】试题分析：（1）当时，对求导，利用即可求出的单调递增区间；（2）由时，函数有极值，即可求出，即可求出，然后根据函数图象平移即可求出对称中心坐标；（3）因为在上为减函数，所以在和上为减函数，且在上的最小值不小于上的最大值试题解析：（1）的定义域为当，设，即，所以或，故函数的单调增区间是和（2）当时，函数有极值，所以，且，即所以的图象可由的图象向下平移4个单位长度得到，而的图象关于对称，所以的图象的对称中心坐标为（3）假设存在使在上为减函数设，设当在上为减函数，则在上为减函数，在上为减函数，且由（1）知当时，的单调递减区间是，由得，解得，当在上为减函数时，对于，即恒成立因为，当时，在上是增函数，在，是减函数，所以在上最大值为，故，即或（舍），故；当时，在上是增函数，在，上是减函数，所以在上最大值为，故，则与题设矛盾，故舍去；当时，在上是减函数，所以在上最大值为，综上所述，存在符合条件的，