1、3.2 简单的三角恒等变换(一)必备知识自主学习 半角公式:22cos_(C)sin_(S)22，2tan_(T).21 cos21 cos21 cos1 cos【思考】(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?提示:二倍角的余弦公式.推导如下:在二倍角公式cos 2=1-2sin2=2cos2-1中,以代替2,以 代替,即得:cos=1-2sin2 =2cos2 -1.所以sin2 =,cos2 =,tan2 =.开方可得半角公式.22221 cos221cos221 cos1cos(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?提示:不能.若没有给出决定符号的条件,则在根号
2、前保留正负两个符号;若给出的具体范围(即某一区间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围选用符号.22(3)半角公式对R都成立吗?提示:公式 对R都成立,但公式 要求(2k+1)(kZ).22CS，2T【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)()(2)存在 R,使得cos cos .()(3)对于任意 R,sin sin 都不成立.()(4)若 是第一象限角,则tan .()1 coscos.22122 122 1 cos21 cos2.(教材二次开发:例题改编)已知cos =,则sin 等于()【解析】选A.由题知 353(2)2，25542 5A.B.C.D.555531
3、cos5()sin0sin.242225，所以，3.已知2 4,且sin =-,cos 0,则tan 的值等于_.【解析】由sin=-,cos bc B.abc C.acb D.bca【解析】选C.a=sin 30cos 6-cos 30sin 6=sin 24,b=sin 26,c=sin 25,所以acb.123222tan 131tan 131cos 502，角度2 给值求值 【典例】已知sin =-,求 的值.【思路导引】利用半角公式求解.【解析】因为 ,sin=-,所以cos=-,且 ,所以 4532sincostan222，32453532241cos2 5sin 225，sin1
4、cos52costan2.2252cos 2，【解题策略】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan =,其优点 是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2 ,cos2 计算.(4)下结论:结合(2)求值.sin21 cos 1 cossin1 cos221cos22【题组训练】1.求值:=()A.1 B.2 C.D.【解析】选C.原式=c
5、os 20cos 351sin 2023cos 20cos 35|sin 10cos 10|22cos 10sin 10cos 10sin 10cos 35 cos 10sin 10cos 35222(cos 10sin 10)2cos45102cos 35222.cos 35cos 35cos 35（）（）2.(2020聊城高一检测)若 ,则 等于()A.cos -sin B.cos +sin C.-cos +sin D.-cos -sin 【解析】选D.因为 ,所以sin 0,cos 0,则 =|cos|-|sin|=-cos-sin.2，1cos 21cos 2222，221cos 21
6、cos 2cossin223.设 2,cos =a,求:(1)sin 的值;(2)cos 的值;(3)sin2 的值.【解析】(1)因为2,所以 .又因为cos =a,所以sin =所以sin=2sin cos =2a (2)cos=2cos2 -1=2a2-1.(3)sin2 242222221cos1a.22221a.21cos1a2.422类型二 三角函数式的化简(直观想象、数学运算)【典例】1.设5 6,cos =a,则sin 等于()2.化简:=_.3.已知 ,化简:241a1a1a1aA.B.C.D.22222sin 22cossin()4321 sin1 sin.1 cos1 c
7、os1 cos1 cos 【思路导引】注意分析角之间的关系,利用半角、倍角及两角差的正弦公式化简求值.【解题策略】化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.【跟踪训练】1.化简:=_.【解析】原式=答案:cos 2x 42212cos x2cos x22tan(x)sin(x)4422222cos x 1cos 2xcos 2x1 cos 2x
8、.2cos 2x24sin(x)cos(x)2sin(2x)442（）124221 4cos x4cos x 12sin(x)42cos(x)4cos(x)4（）2.(2020本溪高一检测)化简:(1sincos)(sincos)22(180360).22cos 类型三 三角恒等式的证明(数学建模、逻辑推理)【典例】证明 【思路导引】方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边.方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.1 sin xxtan()cos x42【解题策略】关于证明三角恒等式的原则(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.(2)两
9、边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.【跟踪训练】求证:【证明】左边=所以原等式成立.2sin xcos x1cos x.(sin xcos x1)(sin xcos x1)sin x222sin xcos xxxxxxx(2sincos2sin)(2sincos2sin)22222222222xxcos2cos2sin xcos xsin x22xx
10、xxxxx4sin(cossin)2sinsin2sincos22222221cos x,sin x右边【延伸拓展】积化和差公式 sin cos =cos sin =sin(+)-sin(-);cos cos =cos(+)+cos(-);sin sin =-cos(+)-cos(-).1sin()sin()2；121212和差化积公式 sin +sin =2sin cos ,sin -sin=2cos sin ,cos +cos=2cos cos ,cos -cos=-2sin sin .2 2 2 2 2 2 2 2 已知sin(+)=,sin(-)=,则sin cos =_.【解析】si
11、n cos=sin(+)+sin(-)=答案:23151212121113.23253013301.(教材二次开发:例题改编)已知180 360,则cos 等于()【解析】选C.因为180360,所以90 180,cos 0,又cos2 =,所以cos =课堂检测素养达标 21cos1cos1cos1cosA.B.C.D.22222221cos221cos.22.已知(,2),则 等于()A.sin B.cos C.-sin D.-cos 【解析】选D.因为(,2),所以 所以 1 cos2 （）2222(,)22，1 cos1 cos|cos|cos.2222 （）3.化简:=_.【解析】原式=因为 2,所以 0,故原式=sin .答案:sin 1 cos33(2)22 （）1 cos|sin|,22323422224.在ABC中,4sin A+3cos B=5,4cos A+3sin B=2 ,求角C.3