1、20.泰勒展开探路泰勒公式知识：设函数在点处的某邻域内具有阶导数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少存在一点，使得：=+ +，其中称为余项，上式称为阶泰勒公式；若0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即= +.利用泰勒公式证明不等式：若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处有阶的导数,则有公式在上述公式中若(或),则可得或1、 证明: 证明 设 则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点在处展开,然后判断余项的正负,从而证明不等式.对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利
2、用泰勒公式在时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.2、 证明不等式：.2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明 , 当时，的泰勒展式为： 0 (0, ,01)所以0,，有 .例3（2022达州一诊）已知函数（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若恒成立，求实数的值必要性分析：令，则. 考虑在处的三阶泰勒展开：，进一步整理可得：考虑的临域内，的主要性态由其展开式的低次项决定，这样的话，若时，则在时，而在时，这与恒成立矛盾，于是，下面进行充分性证明.充分性证明：定义域为，令，则，若，由（1）知，则，在区间恒成立若，因为，则，所以即是增函数当时，所以又因为，所以存在正数，使得.当时，是减函数，所以，不合题意若，因为，则，所以是增函数，当时，又，所以存在正数，使得，当时，是增函数，所以，不合题意若，因为，则，是增函数因为，所以当时，不合题意综上所述，实数的值为
