1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十三)等比数列的性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015龙岩高二检测)已知等比数列an中，a3a13=16，则a8的值等于()A.4B.8C.4D.8【解析】选C.因为数列an是等比数列，所以=a3a13=16，所以a8=4.【补偿训练】公比为的等比数列an的各项都是正数，且a5a9=16，则log2a16=()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为a5a9=16，所以a7=4或-4(舍去)，又公比为，所以a16=a7()9
2、=32=25，所以log2a16=log225=5.2.在等比数列an中，a10，若对正整数n都有an1B.0q1C.q0D.q1【解析】选B.因为对正整数n都有anan+1，所以数列an是递增数列，又因为a10，所以0q0)在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，故3+3q+3q2=21，解得q=2，因此a3+a4+a5=2122=84.5.已知数列an为公比q1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2-8x+3=0的两根，则a2015+a2016的值是()A.18B.19C.20D.21【解题指南】首先计算a2013，a2014，然后计算公比，最后根据a201
3、5+a2016=(a2013+a2014)q2计算a2015+a2016.【解析】选A.由题意得a2013+a2014=2，a2013a2014=，所以a2013=，a2014=或a2013=，a2014=，又因为公比q1，所以a2013=，a2014=，所以q=3，所以a2015+a2016=(a2013+a2014)q2=232=18.二、填空题(每小题5分，共15分)6.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_.【解析】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，设插入的三个数依次为a，b，c，所构成等比数列的公比为q，则b2=ac=36，所以b=6，又因为b=q
4、20，故b=6.因此插入的三个数的乘积为abc=b3=63=216.答案：216【延伸探究】将“三个”改为“五个”，其他条件不变，结果又如何？【解析】设插入的五个数为a，b，c，d，e，则c2=ae=bd=36.解得c=6，因此插入的五个数的乘积为abcde=c5=65.7.(2015濮阳高二检测)已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则=_.【解析】因为a1，a3，2a2成等差数列，所以a3=a1+2a2，又数列an为等比数列，所以a1q2=a1+2a1q，因为等比数列an中，各项都是正数，所以a10，q0，所以q2-2q-1=0，解得：q=1，所以q=1+，q=
5、1-(舍去)，则=q2=(1+)2=3+2.答案：3+28.等比数列an是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8a15=_.【解析】因为数列an是递减数列，则a10，0q1或a11，即q必为正值，所以数列an的各项都同号，又因为T13=4T9，所以a10a11a12a13=4=(a8a15)2，所以a8a15=2.答案：2【补偿训练】已知数列an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值为_.【解析】a2a4=，a4a6=，所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2，即(a3+a5)2=25，又因为an0，所以a3+
6、a5=5.答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015邯郸高二检测)等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，=9a2a6.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列(n2，nN*)的前n项和.【解析】(1)设等比数列an的公比为q，因为=9a2a6=9，所以q2=，因为an0，所以q0，所以q=，因为2a1+3a2=2a1+3a1q=1，所以3a1=1，a1=，所以an=.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=log3(a1a2an)=log3=-.设数列的前n项和为Sn，则Sn=-2=-2=-2=-.【补
7、偿训练】已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n-5=22n(n3)，计算log2a1+log2a3+log2a2n-1.【解析】因为a5a2n-5=22n且an0，所以an=2n，所以a2n-1=22n-1，所以log2a2n-1=2n-1，所以log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+5+(2n-1)=n2.10.在公差不为零的等差数列an和等比数列bn中，已知a1=1，且a1=b1，a2=b2，a8=b3.(1)求数列an的公差d和数列bn的公比q.(2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an=logabn+b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由
8、.【解析】(1)由已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，得解得或因为d0，所以舍去(2)假设存在常数a，b使得an=logabn+b成立，即有1+5(n-1)=loga6n-1+b.整理，得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.因为an=logabn+b对一切正整数n恒成立，所以所以a=，b=1.所以存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an=logabn+b成立，且此时a=，b=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015宁波高一检测)已知各项均不为0的等差数列an满足2a3-+2a11=0，数列bn为等比数列，且b7=a7，则b1b13等于()A
9、.16B.8C.4D.2【解析】选A.根据等差数列的性质得，a3+a11=2a7，所以2a3-+2a11=0变为4a7-=0，解得a7=4或a7=0(舍去)，因为数列bn为等比数列，且b7=a7，所以b1b13=42=16.【延伸探究】本题中“2a3-+2a11=0”改为“a3-2+3a7=0”，“b7=a7”改为“b6=a6”，其他条件不变，计算b1b7b10.【解析】根据等差数列的性质得，a3+a7=2a5，所以a3-2+3a7=0变为2a5+2a7-2=0，又因为a5+a7=2a6，所以2a6=，解得a6=2或a6=0(舍去)，因为数列bn为等比数列，且b6=a6，所以b1b7b10=b
10、2b6b10=8.2.(2015四平高一检测)已知数列an满足log3an+1=log3an+1(nN*)，且a2+a4+a6=9，则lo(a5+a7+a9)的值是()A.-B.-5C.5D.【解析】选B.因为log3an+1=log3an+1，所以log3an+1-log3an=1，log3=1，所以=3(nN*)，所以数列an是公比为3的等比数列，a5+a7+a9=(a2+a4+a6)33=933=35，所以lo(a5+a7+a9)=lo35=-5.二、填空题(每小题5分，共10分)3.对于数列cn，如果存在各项均为正整数的等差数列an和各项均为正整数的等比数列bn，使得cn=an+bn，
11、则称数列cn为“DQ数列”.已知数列en是“DQ数列”，其前5项分别是：3，6，11，20，37，则en=_.【解析】由题意设等差数列an和等比数列bn的公差和公比分别为d，q，由题意可得a1+b1=3，a1+d+b1q=6，a1+2d+b1q2=11，a1+3d+b1q3=20，a1+4d+b1q4=37，结合数列的各项均为正整数可解得a1=1，b1=2，d=1，q=2，所以en=an+bn=1+(n-1)1+22n-1=n+2n.答案：n+2n4.在等比数列an中，公比q=2，且a1a2a3a30=230，则a3a6a9a30=_.【解题指南】由数列是等比数列，可知a1a4a7a28，a2
12、a5a8a29，a3a6a9a30成公比为q10的等比数列，进而用整体思想根据a1a2a3a30=230求出a3a6a9a30.【解析】因为等比数列an的公比q=2，=210，所以a2a5a8a29=，a1a4a7a28=，又因为a1a2a3a30=230，所以(a3a6a9a30)3=230，所以a3a6a9a30=220.答案：220三、解答题(每小题10分，共20分)5.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择.调查表明，凡是在这个星期一选A菜的，下星期一会有改选B菜；而选B菜的，下星期一会有改选A菜.用an，bn分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数.(
13、1)试用an-1(nN*，n2)表示an，判断数列an-300是否成等比数列并说明理由.(2)若第1个星期一选A种菜的有200人，那么第10个星期一选A种菜的大约有多少人？【解析】(1)由题知，对nN*有bn=500-an，所以当nN*且n2时，an=an-1+(500-an-1)，即an=an-1+150.所以an-300=(an-1-300)，所以当a1=300时，an-300不是等比数列，当a1300时，an-300是以a1-300为首项，为公比的等比数列.(2)当a1=200时，an-300=(a1-300)，即an=300-，所以a10=300-300.所以第10个星期一选A种菜的大约有300人.6.(2014江西高考)已知数列的前n项和Sn=，nN*.(1)求数列的通项公式.(2)证明：对任意的n1，都有mN*，使得a1，an，am成等比数列.【解析】(1)当n=1时a1=S1=1；当n2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2，对n=1也满足，所以的通项公式为an=3n-2.(2)由(1)得a1=1，an=3n-2，am=3m-2，要使a1，an，am成等比数列，需要=a1am，所以(3n-2)2=3m-2，整理得m=3n2-4n+2N*，所以对任意n1，都有mN*使得=a1am成立，即a1，an，am成等比数列.关闭Word文档返回原板块