1、第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019椭圆的定义及标准方程T10椭圆、抛物线的标准方程T8双曲线的标准方程、几何性质T10双曲线的几何性质T16圆、双曲线的标准方程与几何性质T11椭圆的标准方程及定义T152018直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算T8双曲线的几何性质T5双曲线的几何性质T11双曲线的几何性质T11直线的方程及椭圆的几何性质T12直线与抛物线的位置关系T162017直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用T10双曲线的几何性质T9双曲线的渐近线及标准方程T5双曲线的几何性质T15(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年
2、高考必考的内容以选择题、填空题的形式考查，常出现在第412或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第1920题的位置，一般难度较大 例1(1)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21B.1C.1D.1(2)(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4D8(3)(2019郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦
3、点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.xy0Cx2y0D.2xy0解析(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a. |AB|BF1|，|AF2|2|F2B|， |AB|BF1|AF2|， |AF1|3|AF2|4a.又 |AF1|AF2|2a， |AF1|AF2|a， 点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1，0)， 2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22. 椭圆C的方程为1.故选B.(2)抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点
4、坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D.(3)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则|PF2|2a最小，所以PF1F230.在PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30，整理得c23a22ac，解得ca，所以ba.所以双曲线C的渐近线方程为yx.故选A.答案(1)B(2)D(3)A解题方略1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)注
5、意应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2求解圆锥曲线标准方程的思路定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)多练强化1椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B.C.D.解析：选C如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN
6、的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.故选C.2(2019福州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1D.1解析：选D不妨设B(0，b)，由2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，.又| 4，c2a2b2，a22b216.由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1.故选D.3若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为_解析：因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该
7、点为P，则P(x0，6)因为P到抛物线焦点F的距离为10，根据抛物线的定义得x010.因为P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，所以抛物线的标准方程为y24x或y236x.答案：y24x或y236x 例2(1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C.D.(2)(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若， 0，则C的离心率为_(3)已知双曲
8、线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为，AOB的面积为2，则p_解析(1)如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.故选D.(2)因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形如图，由F2(c，0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e
9、2. 0， F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点， |OF2|OB|c.如图，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2， |BH|b，|OH|a， B(a，b)，F2(c，0)又 ， A为F1B的中点 OAF2B， ， c2a， 离心率e2.(3)不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为，得1e25，解得2，所以双曲线的两条渐近线方程为yx2x.又抛物线的准线方程为x，则交点的坐标为A，B，所以|AB|2p.由AOB的面积为2，得|AB|2，即2p2，解得p2.答案(1)D(2)2(3)2解题方略1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
10、求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程多练强化1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx B.yxCyxD.yx解析：选Ae，a2b23a2，ba.渐近线方程为yx.故选A.2(2019济南市模拟考试)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且0，2，则椭圆E的离心率为()A. B.C.D.解
11、析：选C设|BF2|m，则|AF2|2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|AF1|2a2m，|BF1|2am.由0知AF1AF2，故在Rt ABF1中，(2a2m)2(3m)2(2am)2，整理可得m.故在RtAF1F2中，|AF1|，|AF2|，故4c2，解得e.故选C.3(2019广州市调研测试)已知抛物线y22px(p0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A.1 B.1C.1D.2解析：选A抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为(c，0)，p2c.点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，将xc代入双曲线方程得到A，将A的坐标代入抛
12、物线方程得2pc，4c2，c22caa20，e22e10，e1，e1.故选A.4已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到2直线与圆锥曲线只有
13、一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切题型二直线与圆锥曲线的弦长例4(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22，从
14、而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.解题方略直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，则弦长|AB| |y1y2| (k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB| 求之多练强化1已知椭圆C：y21(a1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1
15、且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围解：(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以bc1，即a ，所以椭圆C的方程为y21.(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为yk(x1)，与y21联立，得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)，即M.所以线段AB的垂直平分线的方程为y，设点P(xP，yP)，令y0，得xP.
16、因为xP，所以0k2.|AB| .因为0k2，所以12，即|AB|2.故线段AB长度的取值范围是.2(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x
17、22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2| 2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2 .因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.数学运算直线与圆锥曲线综合问题的求解典例已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x 轴的上方)(1)求椭圆C的方程；(2)若2，且直线l
18、与圆O：x2y2相切于点N，求|MN|.解(1)由题意知得(a24)(4a23)0，又a23b23，故a24，则b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(m，0)，直线l：xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得y12y2.由得(t24)y22tmym240，则y1y2，y1y2.由y1y22y，y1y22y2y2y2，得y1y22(y1y2)22(y1y2)2，所以2，化简得(m24)(t24)8t2m2.易知原点O到直线l的距离d，又直线l与圆O：x2y2相切，所以，即t2m21.由得21m416m2160，即(3m24)(7m24)0，解得m2，此时t2，满足0，所以M.在RtOMN中，|MN| .素养通路本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M，A，B的坐标及直线l的方程xtym，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m与t的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M的坐标进而得|MN|.考查了数学运算这一核心素养