1、第十节对数函数一、基础知识批注理解深一点1对数函数的概念函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0， ). ylogax的3个特征(1)底数a0，且a1；(2)自变量x0；(3)函数值域为R.2对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a1时，恒有y0；当0x1时，恒有y1时，恒有y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a1和0a,0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称二、常用结论汇总规律多一点对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过
2、点(1,0)，(a,1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象(2)函数ylogax与ylogx(a0，且a1)的图象关于x轴对称(3)当a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a1时，对数函数的图象呈下降趋势三、基础小题强化功底牢一点(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)当x1时，logax0.()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)若logamlogan，则m0，a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是()解析：选B函数yloga(x)的图象与ylogax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.2函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上
3、单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选Bylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增3设alog23，blog3，c32，则a，b，c的大小关系是()AabcBbacCacb Dcba解析：选C因为alog231，blog30，c320，但c1，所以bca.(三)填一填4函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，须满足解得x1.答案：5函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过的定点是_解析：当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2
4、)答案：(2,2) 典例(1)函数ylg|x1|的图象是()(2)已知当0x时，有logax，则实数a的取值范围为_解析(1)因为ylg|x1|当x1时，函数无意义，故排除B、D.又当x2或0时，y0，所以A项符合题意(2)若logax在x时成立，则0a1，且y的图象在ylogax图象的下方，作出图象如图所示由图象知 loga，所以解得a1.即实数a的取值范围是.答案(1)A(2)变透练清1.若本例(1)函数变为f(x)2log4(1x)，则函数f(x)的大致图象是()解析：选C函数f(x)2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；函数f(x)2log4(1x)在定义域上单调递减，排除
5、D.故选C.2已知函数f(x)关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_解析：问题等价于函数yf(x)与yxa的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a1.答案：(1，)3.若本例(2)变为不等式x20，且a1)对x恒成立，求实数a的取值范围解：设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以alog2ea，所以ca.因为bln 21log2ea，所以ab.所以cab.答案D解题技法比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数
6、可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考法(二)解简单对数不等式典例已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_解析原不等式或，解不等式组得x0，得1xbc BacbCcab Dcba解析：选C0a2201，blog21，cab.2若定义在区间(1,0)内的函数f(x)log2a(x1)满足f(x)0，则实数a的取值范围是()A. B.C. D(0，)解析：选A1x0，0x10，02a1，0a0，若函数f(x)log3(ax2x)在3,
7、4上是增函数，则a的取值范围是_解析：要使f(x)log3(ax2x)在3,4上单调递增，则yax2x在3,4上单调递增，且yax2x0恒成立，即解得a.答案：A级保大分专练1函数y的定义域是()A1,2B1,2)C. D.解析：选C由即解得x.2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B.Clogx D2x2解析：选A由题意知f(x)logax(a0，且a1)f(2)1，loga21.a2.f(x)log2x.3如果logxlogy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析：选Dlogxlogyy1.4(2019海南三市联考)
8、函数f(x)|loga(x1)|(a0，且a1)的大致图象是()解析：选C函数f(x)|loga(x1)|的定义域为x|x1，且对任意的x，均有f(x)0，结合对数函数的图象可知选C.5(2018惠州调研)若a20.5，blog3，clog2sin，则a，b，c的大小关系为()Abca BbacCcab Dabc解析：选D依题意，得a1,0blog3log1，而由0sin1，得cbc.6设函数f(x)loga|x|(a0，且a1)在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(2)的大小关系是()Af(a1)f(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能确定解析：选A由已知得0a1，所以1
9、a1f(2)7已知a0，且a1，函数yloga(2x3)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)_.解析：设幂函数为f(x)x，因为函数yloga(2x3)的图象恒过点P(2，)，则2，所以，故幂函数为f(x)x.答案：x8已知函数f(x)loga(xb)(a0，且a1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则logba_.解析：f(x)的图象过两点(1,0)和(0,1)则f(1)loga(1b)0，且f(0)loga(0b)1，所以即所以logba1.答案：19(2019武汉调研)函数f(x)loga(x24x5)(a1)的单调递增区间是_解析：由函数f(x)loga(x2
10、4x5)，得x24x50，得x5.令m(x)x24x5，则m(x)(x2)29，m(x)在2，)上单调递增，又由a1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，)答案：(5，)10设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析：由f(a)f(a)得或即或解得a1或1a0.答案：(1,0)(1，)11求函数f(x)log2log(2x)的最小值解：显然x0，f(x)log2log(2x)log2xlog2(4x2)log2x(log242log2x)log2x(log2x)22，当且仅当x时，有f(x)min.12设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1
11、)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)f(1)2，loga42(a0，且a1)，a2.由得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.B级创高分自选1已知函数f(x)logax(a0，且a1)满足ff，则f0的解集为()A(0,1) B(，1)C(1，) D(0，)解析：选C因为函数f(x)logax(a0，且a1)在(0，)上为单调
12、函数，而f，所以f(x)logax在(0，)上单调递减，即0a0，得011，故选C.2若函数f(x)loga(a0，且a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_解析：令Mx2x，当x时，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M2，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，)