1、解析几何专 题 六 22222222222222221(0)20*0*0001xylykxmCababba kxa kmxa ma bba klClClC 直线与椭圆的位置关系将直线：代入椭圆：得由，知方程为二次方程，则当 时，与 相交，有两个公共点；当时，与 相切，有一个公共点；当 时，与 相离，无公共点 22222222222221(00)2*20*lykxmxyCababba kxa kmxa ma bbkaykxmbka 直线与双曲线的位置关系将直线：代入双曲线：，得当时，方程为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行当时，方程为二次方程，这时与判断直线和椭圆位置关系的方法一样，利用判别
2、式分三种情况来判断直线与双曲线的位置关系 22222(0)20*0*3()0lykxmCypx pk xkmp xmkykxmxk直线与抛物线的位置关系将直线：代入抛物线：，得当时，方程为一次方程，此时直线与抛物线的对称轴轴 平行当时，方程为二次方程，此时与判断直线和椭圆、双曲线位置关系的方法一样，利用判别式分三种情况来判断直线与抛物线的位置关系5 122212123212.24210123().kkkkGxFFGFFCxykxykAGA F FCGR已知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为，两个焦点分别为 和，椭圆 上一点到 和 的距离之和为圆：的圆心为点求椭圆 的方程例1：；求的
3、面积；问是否存在圆包围椭圆？请说明理由考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 123Ak第小题根据椭圆离心率与定义，利用待定系数法求解；第小题只要确定出 点的纵坐标就可求得面积；第小题对 的取值进行讨论，确定椭圆和圆的包分析：含关系 22222222221(0)94.11.45255xyGabababacbbaGxy设椭圆 的方程为：，半焦距为 则，解得，故椭圆 的方程为解析：112222222222(0)()()548420054 2084 5442005420.lykxm kM xyN xyykxmkxkmxmkkmkmmk 设直线 的方程为，并设，将代入双曲线方程得，则，整理得 1200020
4、0222224()254554514()545499(0)(0)5454MNxxkmxyxkmykxmkMNmkmyxkkkxykmmkk 由根与系数的关系可知线段的中点坐标，满足，从而线段的垂直平分线的方程为，此直线与 轴，轴的交点坐标分别为，2222225555()(019981|2 5454254 20.|)(0)()4224|45450055024kmmkkkmkkkkkkkkk 由题设可得，整理得，由代入得，解得 或，所以 的取值范围，是 12112|1|2|4OxllFlllABOAABOBBFFAAB双曲线的中心为原点，焦点在 轴上，两条渐近线分别为、，经过右焦点 垂直于 的直线
5、分别交、于、两点已知、成等差数列，且与同向求双曲线的离心率；设被双曲线所截例2得的线段的长为，求双曲线：的方程考点2 直线与圆锥曲线相交和其他知识的交汇 2|Rttant n12a 21OAABOBOAmdABm OBmdOABmdAOBAOFabceABAByABkx 第问可根据、成等差数列可巧设，然后在中利用勾股定理确定 与 的关系，再利用转化求解，最后结合、间的关系求得；第问先确立直线的方程，再联立直线的方程与双曲线的方程可消去，最后利用：弦公析长式分212124xx x 求解 22222222221(00),0 0.|1.42.4tantan31xyaabbF cccabOAmdABm
6、 OBmdmdmmddmBFFAAOBAOFbAOFAOBa 设双曲线的方程为，右焦点，则设，则，得因为与同向，所以又，解析：，22221241321244.1552225.(2)ebbabaaabxyblcbAByxb 所以，解得，所以双曲线的离心率由知，双曲线的方程可化为由 的斜率为，知，直线的方程为，22211222212122212121532 5840()32 584()151151251244.36936xbxbABA xybbB xyxxx xABdxxxxxx xdybba 将代入得，设与双曲线的两交点的坐标分别为，、，则，被双曲线所截得的线段长为，将代入得，所以，所以双曲线的
7、方程为本题是一道与向量、数列、三角的交汇综合题，但主体上还是以双曲线为主，涉及主要知识与方法：等差数列的巧设、三角函数的二倍角公式、韦达定理、弦长公式及待定系数法、方【思维启迪】程思想等。17 2,1(01)2,110,12ABCDEMADt AB BEtBC DMtDEtDEM 如图，三定点变，三动点，满足，求动直线斜率的变化范围；求动点的轨试题迹方程 00()()()t(21)(22)222.212121211 2.2220,1,111EEDDDEDEEDDEDEEDD xyE xyM xyADt AB BEBCxytxtxtytytyyttktxkxttt 设，由，知，所以同理所以所以，
8、所以解析：22222t(2221)222,21212,422,422 1 24(21 244.0,12 1 22,2,22)xDMDExtytttttttttttxtyxyyxtxytxtM 因为，所以，所以，所以，即因为，所以所以所求动点的轨迹方程为 1,0002,11.CyCFyCmM mCABFA FBm 已知一条曲线 在 轴右边，上每一点到点的距离减去它到 轴距离的差都是求曲线 的方程；是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说备选例题:明理由 1122()()()012PxyxyCyA xyB xyFA FBm第小题首先设出点
9、 的坐标，然后利用条件关系建立关于，的方程，再化简；第小题首先设直线方程，然后代入曲线 的方程得到关于 的二次方程，再利用点，的坐标表示出向量与，进而利用条件，并结合韦达定理进行处理，从而建立关于 的恒不等式，再利用处理不等式恒成立的分析：方法解答 22112222122122()()110,0()().44044161460.4120P xyCP xyxyxxM mlCA xyB xylxtymxtymytymyxyyttmyy yx xm 设，是曲线 上任意一点，那么点，满足：，化简得设过点的直线 与曲线 交于，的方程为由，解析：得，于是11222121212222212121222121
10、2121222(1)(1)010.4()101644()2101641684104FAxyFBxyFA FByx xxxy yxy yyyy yy yyyy yy ytmmm 又，由，得又，所以22261461032 232 2.(32 2 32 2),00mmttmmmmM mCABFA FBm R对任意的恒成立，所以，即由此可见，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点、的任一直线，都有，且 的取值范围，是 123此类题型主要考查以圆锥曲线为载体，利用曲线方程的性质探求下面三个方面的典型问题：探索曲线上点的存在性；探索直线与曲线位置关系中直线的存在性；探索直线与圆锥曲线位置关系中涉及到参数的存
11、在性解答此类问题须根据圆锥曲线的方程及性质等，通过观察分析，“创造性”地综合运用所学知识解决问题其过程主要体现为：观察猜【思维测抽象概启】括迪证实 112()01()yxxy直线与圆锥曲线位置关系的判断主要有两类题型：判断直线与圆锥曲线的位置关系；根据位置关系求解参数等相关的问题解答策略：主要是联立直线方程与圆锥曲线方程消去 或 得到关于 或 一元二次方程，注意考虑是否需要对首项系数进行讨论当首项系数不为 时，利用判别式即可解答；23判断含有参数的直线与圆锥曲线的位置关系时，如果能确定出直线过一定点，而定点又在圆锥曲线的内部，则可迅速判断直线与圆锥曲线相交或建立不等式求解参数范围；有时借助图形
12、的几何性质更为方便 12()直线与圆锥曲线相交弦问题主要有两类题型：直线与圆锥曲线 包括圆 的相交弦所得弦的中点问题，主要包括求中点弦所在直线的方程与已知弦的中点求解参数问题 求相交弦的长，主要包括求已知直线与圆锥曲线相交时的弦长、已知弦长求参数的值或取2.值范围lCAB解答策略：解答相交弦的中点问题主要有两种思路：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解；若直线 与圆锥曲一是韦达定理法：二是线有两个交点2点法：和差，112212121212()()()3A xyB xyxxyyxxyy一般地，首先设出交点坐标，代入曲线方程，通过作差，构
13、造出，从而建立了中点坐标和斜率的关系涉及到圆锥曲线焦点弦的问题：由于涉及到焦点，因此可以利用圆锥曲线的焦半径公式 即圆锥曲线的第二定义，应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法212225(0)425536 A(29)B(05)C(29)1.(201 D 11,6)yxaxaxxxy 在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为，四川卷00212100222()2.2221(14)421260.0,0|6|60()4.5214(5229)9xyyykaxxyxaaxaxayaaxaxydaaayxxx 切设抛物线上的切点为，由
14、得，因此切点为，切线方程为，即由圆心到解析：所以顶点切线的距离得坐标为舍去 或因为抛物线方程为，112212121222121112022.(2011).21lyk xlyk xkkk kllllxy设直线：，：，其中实数，满足证明：与 相交；与 的安徽卷交点在椭圆上 12121212112122020.1kkllllllkkk kkk假设 与 不相交，则 与 平行，有，代入，得这与 为实数的事解析：从而，实相矛盾反证法即 与相交 1221212122222121212222211221222221221212(112().222()()8241.24)2112yk xPyk xP xxkkxykkykkkkxykkkkkkk kkkkkyk kkxyk 即交点，在椭圆由方程组，解得交点 的坐标，为法：而方上12112222221()110.20111210222.1yk xPxyyk xykxxk kykxyyxyxPxyx 交点 的坐标，满足，故知从而所以交点 在椭，代入，得整理后，方圆：得法上