1、一、填空题1下面命题中，正确命题的序号为_若n1、n2分别是平面、的法向量，则n1n2；若n1、n2分别是平面、的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量且a与共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【解析】画图可知，四个命题均正确【答案】2若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(2,3,8)，则平面，的位置关系是_(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)【解析】uv1223(1)80，uv，.【答案】垂直3已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为a(1,3，z)，向量b(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】由题意知ab0，(1,3，z)(3，2,
2、1)0，133(2)z10，z3.【答案】3图32134(2013连云港高二检测)如图3213，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是_【解析】，()()()2220，AC1CE.【答案】垂直5(2013大连高二检测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_【解析】建立空间坐标系如图，设正方体棱长为2，则M(1,0,1)，N(1,1,2)，(0,1,1)平面BB1C1C的一个法向量为(2,0,0)，0000.MN平面BB1C1C.【答案】平行6已知空间两点A(1,1,2)，B(3
3、,0,4)，直线l的方向向量为a，若|a|3，且直线l与直线平行，则a_.【解析】设a(x，y，z)，(2，1,2)，且l与AB平行，a，x2y，z2y，又|a|3，|a|2x2y2z24y2y24y29，y1，a(2,1，2)或(2，1,2)【答案】(2,1，2)或(2，1,2)7已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则_.【解析】，0，352z0，z4，(3,1,4)，平面ABC，由得，(，3)【答案】(，3)8已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)， (4,2,0)， (1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的
4、法向量；.其中正确的是_【解析】0，0，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，正确由于(2,3,4)，(1,2，1)与不平行，故错误【答案】二、解答题图32149(2013徐州高二检测)如图3214，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点(1)求证：EF平面CB1D1；(2)求证：平面CAA1C1平面CB1D1.【证明】(1)以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，(1,1,0)又C(0,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)，设平面CB1D1的一个法向量为n1(x，y
5、,1)(0，2,2)，(2,0,2)，由得.n1(1,1,1)，n10.又因EF平面CB1D1，EF平面CB1D1.(2)DBAC，DBAA1，DB平面CAA1C1，(2,2,0)是平面CAA1C1的一个法向量n10，平面CAA1C1平面CB1D1.图321510如图3215，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点求证：(1)直线EE1平面FCC1；(2)平面ADD1A1平面FCC1.【证明】因为AB4，BCCD2，F是棱AB的中点，所以BFBCCF，则BCF为正三角形因为底面ABCD为
6、等腰梯形，所以BADABC60.取AF的中点M，连结DM，则DMAB，所以DMCD.以，为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(，0)，E1(，1,1)所以(，1,0)，(0,0,2)，(，1)，(，1,0)，(0,0,2)(1)设平面FCC1的法向量为n(x，y，z)，则，令x1，可得n(1，0)，则n1()010，所以n，又直线EE1平面FCC1，所以直线EE1平面FCC1.(2)设平面ADD1A1的法向量为m(x，y，z)，则，令x1，可得m(1，0)，由(1)知mn，即m
7、n，所以平面ADD1A1平面FCC1.图321611如图3216，在四棱锥PABCD中，底面是矩形且AD2，ABPA，PA底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上(1)求F在何处时，EF平面PBC；(2)在(1)的条件下，EF是否是PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度，若不是，说明理由【解】(1)以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，)，A(0,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(2,0,0)，E(1,0,0)F在PC上，可令，设F(x，y，z)则(2,0,0)，(2，)，(x1，y，z)EF平面PBC，0，且0.又，可得，x1，yz.故F为PC的中点(2)由(1)可知：EFPC，且EFBC，EFAD.EF是PC与AD的公垂线段，其长为|1.