1、第二章圆锥曲线1截面欣赏2直线与球、平面与球的位置关系课标解读1.了解截面的概念2理解直线与球的位置关系3理解平面截球及球面的意义及性质.1直线与球的位置关系(1)直线与球的位置关系已知球O的半径为r，球心到直线l的距离为d.位置关系公共点d与r的关系相离没有公共点dr相切只有一个公共点dr相交有两个公共点dr(2)球的切线性质从球外一点作球的切线，它们的切线长相等，所有的切点组成一个圆2平面与球的位置关系(1)平面与球的位置关系设球的半径为r，球心到平面的距离为d.位置关系公共点d与r的关系相离没有公共点dr相切只有一个公共点dr相交有无数个公共点dr (2)球的截面性质图211一个平面与球
2、面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面如图211所示，平面截球得一截面圆O，OO1与平面垂直，P为截面圆上一点，在RtOO1P中有OP2OOO1P2，这个等式给出了球半径、截面圆半径与球心到截面圆的距离三者之间的关系1如何求球的两个平行截面间的距离？【提示】(1)作出过球心和截面圆圆心的截面(2)分两种情况：一是两截面在球心同侧；二是两截面在球心异侧(3)利用球的半径R，截面圆半径r及球心到截面圆的距离d的关系r2d2R2来求解2如何判断点、直线、平面与球的位置关系？【提示】点、直线、平面与球的位置关系与它们到球心的距离和球的半径的大小有着密切的关系因而要判断点、直线和平
3、面与球的位置关系，关键是寻找球心到点、直线、平面的距离d与球的半径R的大小关系，特别地要证明点在球面上、直线或平面与球相切，只需证明dR.与球有关的截面问题已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12和16，求这两个截面间的距离【思路探究】【自主解答】设球心为O，两截面的圆心分别为C、D，由已知2CE12，得CE6，2DF16，得DF8，当两截面在球心同侧时，如图(1)CDOCOD2，当两截面在球心两侧时，如图(2)所示CDOCOD14.故两个截面间的距离为2或14.1本题中两个平行截面与球心的位置关系不确定，故应分类求解2解决有关球的问题，通常是通过研究球的截面来实现的，实质上是利用球的
4、截面，化空间问题为平面问题图212已知球O的半径为3，它有一内接正方体ABCDA1B1C1D1，如图212所示，则球心到平面ABCD的距离为_【解析】平面ACC1A1截球所得截面图形如图所示AC1AA1，AA12.OO1AA1.球心到平面ABCD的距离为.【答案】直线、平面与球的位置关系一个球放在水平地面上，球在阳光下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处，同一时刻，一根高1米的垂直立于地面的标杆的影子长是2米，求球的半径【思路探究】作出球的截面，构造三角形，利用切线长定理及三角形相似求解【自主解答】如图所示，O为球的轴截面图，AB与O切于A，AB10米，它是AC的影长，则AC5米，BC切O于
5、D，由切线长定理知BD10米，CB5，CDCBBD510，CC，ODCCAB90，OCDBCA，OD1020(米)，故球的半径为1020米1解答本题时首先应明确地面与球相切，球的投影最远点是由光线与球的切点决定的，然后作出截面，构造三角形求解2利用球的轴截面可把球的问题转化为圆的问题求解已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，求球面面积【解】如图所示，设球心为O，球半径为R，M是AB的中点作OO1平面ABC于O1，由于OAOBOCR，则O1CM.设O1Mx，易知O1MAB，则O1AO1CCMO1Mx，即4x，解得x，则O1AO1BO1C，在RtOO1
6、A中，O1O，OO1A90，OAR.由勾股定理得()2()2R2，解得R.故S球面4R254.综合问题已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积【思路探究】(1)外接球的球心就是SAC外接圆的圆心；(2)以内切球的球心为顶点，以正四棱锥的各个面为底面的棱锥的体积之和等于正四棱锥的体积【自主解答】(1)如图，设外接球的半径为R，球心为O，则OAOCOS，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径，ABBCa，ACa.SASCACa，SAC为正三角形由正弦定理得2Ra，因此Ra，V球R3a3.(2)设内切球的半径为r，作SE底面于E，作S
7、FBC于F，连接EF.则有SFa.SSBCBCSFaaa2，S棱锥全4SSBCS底(1)a2，又SEa，V棱锥S底ha2aa3，ra，S球4r2a2.1解答本题第(2)小题时，内切球的球心无法确定，从而利用等体积法直接求内切球的半径2当几个平面与球都相切时，根据平面与球相切的定义，球心到各平面的距离都等于球半径同时在解决此类问题时，一要注意用好图形，二要注意使用线面关系解题图213如图213所示，已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，求球心O到棱AB的距离【解】设内切球半径为r，由等积法：BO1aa，AO1 a.4a2rVABCDa3，ra.AOAO1OO1aaa.又AOBO，设E为AB的
8、中点，连接OE，则OE为球心O到AB的距离，OE a.(教材第50页复习题二A组第1题)在半径为13 cm的球面上有A、B、C三点，AB6 cm，BC8 cm，CA10 cm，求过这三点的截面与球心O的距离(2013大连模拟)在球面上有四点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两垂直，且PAPBPCa，求这个球的体积和表面积【命题意图】本题主要考查直线与球、平面与球的位置关系【解】由PAPB可知P、A、B确定一个平面，设它与球O的交线为O1，由于PAPB，故AB是O的直径，且ABa.PCPA，PCPB，PC平面PAB.又OO1平面PAB，OO1PC.过OO1、PC作平面交球面为大圆O，设O与O1
9、的另一个交点为Q，则直线PQ是平面与平面PAB的交线，点O1PQ，连CQ，在O中，PCPQ，CPQ为直角，CQ为O的直径设O的半径为R，即球O的半径为R，在RtCPQ中，CQ a，2Ra，即Ra，V球(a)3a3，S球4(a)23a2.1一个平面去截一个球面，其截线是()A圆B椭圆C点 D圆或点【解析】由平面与球的位置关系知，选D.【答案】D2已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为()A4 B3C2 D5【解析】设球的半径为R，由题意知1，解得R3.【答案】B3球的半径为R，则它的外切正方体的棱长为_，内接正方体的棱长为_【解析】外切正方体
10、的棱长为2R，内接正方体的体对角线是球的直径，故a2R，(a是内接正方体的边长)aR.【答案】2RR4平面与球O相交，交线圆圆心为O1，若OO13，交线圆半径为4，则球O的半径为_【解析】设球O的半径为R，由题意知R2324225，R5.【答案】5一、选择题1从球外一点引球的切线，则()A可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆B可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆C只可以引两条切线，两切点的连线过球心D只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】根据球的切线性质知B正确【答案】B2已知球的半径R6，过球外一点P作球的切线长为8，则P点到球面上任意一点Q的最短距离为()A3B4C5
11、D6【解析】设点P到球心的距离为d，则d10.PQ的最短距离为1064.【答案】B3一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图214所示，则截面图可能是()图214A BC D【解析】根据截面的位置不同，可得到的截面形状可能是，但不可能为，故选D.【答案】D4已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，ACr，则球的体积与三棱锥体积之比是()A B2C3 D4【解析】如图所示，由题意知OAOBOSr，易知ACB为直角三角形，所以4.【答案】D二、填空题5若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，说
12、明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2()2()2()29，外接球的表面积为S4R29.【答案】9图2156如图215所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_【解析】DA平面ABC，BC平面ABC，AC平面ABC，DABC，DAAC.又BCAB，ABDAA，BC平面ABD，BCDB，则DC的中点即为球心O.又DAABBC，AC，DC3，球O的体积V球()3.【答案】三、解答题7已知半径为R的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离【解】设四个球的球心分别为O1、O2、O3、O4，将它
13、们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R，如图作O1H面O2O3O4，垂足为H，则O1H为棱锥的高连接O4H，则O4HR.O1HO4为直角三角形，O1HO490，O1HR，从上面一个球的球心到桌面的距离为(1)R.8若正四面体的四个顶点都在表面积为36的一个球面上，求这个正四面体的高【解】如图，设正四面体边长为x，设球半径为R.AHx,4R236.R3，在RtAHS中，SH2SA2AH2，SH2x2(x)2x2，( xR)2(x)29，x2SH4，故正四面体的高为4.图2169如图216所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与
14、铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？【解】由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为r，容器内水的体积就是VV圆锥V球(r)23rr3r3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为h.此时容器内水的体积为V(h)2hh3.由VV，得hr.即铁球取出后水深为r.10已知球面上的三点A、B、C，且AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm，球的半径为13 cm.求球心到平面ABC的距离(如图)【解】因为6282102，所以ABC是直角三角形因为球心O在平面ABC内的射影M是ABC所在截面圆的圆(外接圆)心，所以M是直角三角形斜边AC上的中点，且OMAC.在
15、RtOAM中，OM12，所以球心到平面ABC的距离为12 cm.3柱面与平面的截面4平面截圆锥面课标解读1.了解柱面、旋转面、圆锥面的形成过程2.了解平面截圆柱面所得交线为圆或椭圆3.了解平面截对顶圆锥面所得交线为圆、椭圆、双曲线和抛物线.1柱面与平面的截面(1)柱面、旋转面圆柱面 如图231所示，圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴，旋转一周后AB边所形成的曲面图231旋转面如图231所示，平面上一条曲线C绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面(2)垂直截面用垂直于轴的平面截圆柱面，所得的交线为一个圆(3)一般截面当截面与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆2平面截
16、圆锥面(1)圆锥面取直线l为轴，直线l与l相交于点O，其夹角为(090)，l绕l旋转一周得到一个以O为顶点，l为母线的圆锥面(2)垂直截面当截面与圆锥面的轴垂直时，所得的交线是一个圆(3)一般截面定理：在空间，直线l与l相交于点O，其夹角为，l绕l旋转一周得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为，则当时，平面与圆锥面的交线为椭圆；当时，平面与圆锥面的交线为抛物线；当时，平面与圆锥面的交线为双曲线1平面截圆柱面，与圆柱面的轴的夹角变化，所截出的椭圆有什么变化？【提示】变化不影响椭圆的短轴，越小，长轴越长，椭圆越扁，离心率越大2试研究以过抛物线的焦点的弦为直径的圆与抛物线的准
17、线的位置关系【提示】如图，弦AB过焦点F，设其中点为P，A、B、P在抛物线准线l上的射影分别为A、B、P，则PP为梯形AABB的中位线，PP(AABB)，又由抛物线定义可知，AABBAFBFAB，以弦AB为直径的圆与l相切3若平面与圆柱面轴的夹角为，圆柱面的半径为r，则平面截圆柱面所得的椭圆的长轴长2a，短轴长2b，离心率e的值如何用、r表示？【提示】由两焦球球心距离等于截得椭圆的长轴长，故2a，椭圆的短轴长2b2r，离心率ecos .平面与圆柱面交线性质的应用圆柱的底面半径为5，高为5，若一平行于轴的平面截圆柱得一正方形，求轴到截面的距离【思路探究】将题目中给出的关系转化为线面关系求解【自主
18、解答】如图所示，ABCD为边长为5的正方形，连接OC、OD，OCD为等边三角形设CD的中点为E，连接OE，则OECD，且OE，又AD上底面，ADOE，故OE平面ABCD，故OE为轴到截面的距离，轴到截面的距离为.1解答本题时，应根据线面关系作出线面距2当圆柱面的截面平行于轴或垂直于轴时，利用点、线、面关系可解决图232如图232所示，圆柱面的母线长为2 cm，点O，O分别是上、下底面的圆心若OAOB，OA1 cm.求：(1)OO与AB所成的角的正切值；(2)过AB与OO平行的截面面积；(3)O到截面的距离【解】(1)设过A的母线为AA，则OOAA，OOAA是矩形易知OBA是等腰直角三角形，AB
19、.又AA2，OO与AB所成的角为BAA，tan BAA.(2)所求截面为矩形AABB，面积等于2 cm2.(3)O到截面的距离即OO到截面的距离，也是O到截面的距离为 cm.平面与圆锥面交线性质的应用图233如图233所示，AB、CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直线，过CD和母线VB的中点E作一截面已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线【思路探究】求圆锥顶角求VOE结论：抛物线【自主解答】设O的半径为R，母线VBl，则圆锥侧面展开图的中心角为，sinBVO.圆锥的母线与轴的夹角BVO.O、E分别是AB、VB的中点，OEVA
20、.VOEAVOBVO，VEO，即VEOE.又ABCD，VOCD，CD平面VAB.VE平面VAB，VECD.又OECDO，VE平面CDE，OE是VO在平面CDE上的射影VOE是截面与轴线的夹角，截面轴线夹角大小为.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线1解答本题的关键是求出截面与轴的夹角以及母线与轴的夹角2判断平面与圆锥面交线形状的方法(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角，截面与轴的夹角；(2)判断与的大小关系；(3)根据定理判断截线是什么曲线图234如图234所示，平面ABC是圆锥面的正截面，PAB是圆锥的轴截面，已知APC60，BPC90，PA4.(1)求二面
21、角APCB的余弦值；(2)求正截面圆圆心O到平面PAC的距离【解】(1)APC60，APC为等边三角形如图所示，分别取PC，BC的中点D，E，连接AD，DE，则ADPC，DEPB.又PBPC，DEPC.故ADE为二面角APCB的平面角连接AE，在RtACE中，求得AE224.又ADPA2，DEPB2，在ADE中，由余弦定理，得cosADE.(2)取AC的中点F，连接PF，OF，则AC平面POF，从而平面PAC平面POF.过O点作OHPF，垂足为H，则OH平面PAC，故OH的长为O点到平面PAC的距离在RtACB中，ACPA4，BCPB4，从而AB4，OP2.在RtPOF中，OFBC2，OP2，
22、PFPA2，由面积关系，得OH.即O点到平面PAC的距离为.(教材第39页练习题23B组第1题)在教材第38页图218中，设圆KK所在的平面为，平面与的交线为直线m，试证明：椭圆上任意一点P到F1和直线m的距离之比为一个常数(记为e)，且0e1.(2013沈阳质检)如图235，已知两焦点的距离F1F22c，两端点G1G22a.求证：l1与l2之间的距离为.图235【命题意图】本题考查平面与圆柱面的交线及椭圆的定义与离心率【证明】设椭圆上任意一点P，过P作PQ1l1于Q1，过P作PQ2l2于Q2.e，PF1PQ1，PF2PQ2.由椭圆定义PF1PF22a，PQ1PQ22a.PQ1PQ2，即l1与
23、l2之间的距离为.1一个平面和圆柱面的轴成角(090)，则同时与圆柱面和该平面都相切的球的个数为()A0B1C2 D由的不同而定【解析】由焦球的定义知，符合定义的球有2个【答案】C2用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则交线为()A椭圆 B双曲线C抛物线 D两条相交直线【解析】所得交线为圆锥面的两条母线【答案】D3圆锥面的母线与轴线成角，过顶点的平面和轴线成角，且与圆锥面的交线是椭圆，则和的大小关系为_【解析】由平面截圆锥面的定理知.【答案】4在圆锥的内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面和圆锥面均相切，则两切点是所得圆锥曲线的_【解析】根据焦球的定义
24、知，两切点是所得圆锥曲线的焦点【答案】两焦点一、选择题1用一个平面去截一个圆柱面，其交线是()A圆B椭圆C两条平行线 D以上均可能【解析】当平面垂直于圆柱面的轴时，交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线，当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，故选D.【答案】D2一个圆锥轴截面的顶角为120，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为()A. B.C. D.【解析】设截面两母线的夹角为，则0120，当90时，截面面积S最大，此时S11sin 90.【答案】A3已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45角，则截线椭圆的焦距为()A2 B2C4 D4【解析】由2a
25、4，a2，b2，c2，故焦距为4.【答案】C4已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为()A. B.C. D.【解析】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角45；又截面与轴线的夹角30，即，截线是双曲线，其离心率e.【答案】A二、填空题5已知圆锥面的母线与轴成44角，用一个与轴线成44角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是_【解析】根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线【答案】抛物线6一平面截半径为3的圆柱面得椭圆，若椭圆的Dandelin双球的球心距离为10，则截面与圆柱面母线夹角的余弦值为_【解析
26、】Dandelin双球球心距离即为椭圆的长轴长，2a10，即a5，又椭圆短轴长2b6，b3.c4.故离心率e，cos ，故截面与母线所成角的余弦值为.【答案】三、解答题7已知圆柱面轴线上一点O到圆柱的同一条母线上两点A、B的距离分别为2和3，且AOB45.求圆柱面内切球的半径【解】右图所示为圆柱面的轴截面依题意，OA2，OB3，AOB45，AB2OA2OB22OAOBcos 4541822310，AB.设内切球的半径为r，则SAOBABrr.又SOABOAOBsinAOB23sin 453，r3，r，即圆柱面内切球半径为.8已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45，在轴线上取一点C，使SC5，过
27、点C作一平面与轴线的夹角为30，所截得的曲线是什么样的图形？求出Dandelin双球的半径【解】由已知45，30.，截线是双曲线设Dandelin双球中其中一球的半径为R，球心为O.则SOR，OC2R，SCSOOC(2)R.又SC5，R.设Dandelin双球另一球的半径为R，球心为O.则OO(RR)又截面与轴线的夹角为30，RROO(RR)，R(32)R，即Dandelin双球半径分别为，.图2369在阳光照射下，地面上篮球的影子是个椭圆，如图236所示，求证：篮球与地面的接触点是椭圆的焦点【证明】如图，作篮球与影子的纵截面图，M为球心，D为篮球与地面的接触点，易知MDA1A2，MDb.因为
28、光线EA1FA2，且EA1，FA2，A1A2均与圆M相切，所以MA1DMA2D90，所以A1MA290，于是MOA1OA2Oa.于是ODc，所以D是椭圆的一个焦点10.如图，圆柱被平面所截已知AC是圆柱口在平面上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EGFH，EFAB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面交于点G，H.(1)比较EF，GH的大小；(2)若圆柱的底面半径为r，平面与母线的夹角为，求CD.【解】(1)EG和FH都是投影线EGFH又EGFH四边形EFHG是平行四边形EFGH(2)如题图，过点D作DPAC于点P则在RtCDP中，有：sinDCP又DCP，DP2r，CD.5圆
29、锥曲线的几何性质课标解读1.了解圆锥曲线的形成过程2.理解圆锥曲线的统一定义3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线当e1时，轨迹为抛物线；当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为双曲线1你能列举几条椭圆的几何性质吗？【提示】(1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点)注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac，到相应准线的距离为c等)(2)设椭圆方程1
30、(ab0)上任意一点为P(x，y)，则|OP| .axa，x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成PF1F2称之为焦点三角形，周长为2(ac)(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有a2b2c2.2由双曲线的特征三角形我们可得到什么？【提示】双曲线的特征三角形和椭圆类似，如图中OAB称为双曲线的特征三角形，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：|OA|a，|AB|b，|OB|OF2|c，cosAOB，OB所在的直线即为双曲线的渐近线y
31、x，又F2在OB上的射影记作G，则|OG|a，|F2G|b(注意：OABOGF2)G的横坐标记作xG，则xG(由射影定理可得)，那么过G作y轴的平行线l，显然l为双曲线右焦点F2对应的准线.圆锥曲线的几何性质图251如图251所示，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆内部一点，且F1AF1F2，椭圆的长轴长为8，焦距为4，M为椭圆上任意一点，求AM2MF2的最小值【思路探究】设法将AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学的求最值的基本思路，否则不易求【自主解答】如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过M作MNl2于N.e，MF2eMNMN，AM2MF2AMMN，故AM2MF2的最小值为A
32、到l2的距离，AF1F1F2，即求F1到l2的距离延长F1F2交l2于Q，F1Qc210，故AM2MF2的最小值为10.1本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离，而转化的依据是圆锥曲线的统一定义2两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题；曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题已知双曲线左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线左支上一点，P点到左准线的距离为d，若d、PF1、PF2成等比数列，求双曲线离心率e的取值范围【解】如图所示，由题知e，PF2ePF1，由PF2PF12a，PF1，根据PF1F1A，ca，(e1)22,1e1，又e1，1e1，
33、即双曲线的离心率e的取值范围是1e1.圆锥曲线方程点M(x，n)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数(ca0)，求点M的轨迹方程【思路探究】表示出点M到定点F和定直线l的距离，直接列关系式求解【自主解答】设d是点M到直线l的距离根据题意，所求轨迹就是集合PM|，由此得.化简，得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)设c2a2b2，就可化为1(a0，b0)1解答本题时化简是关键2平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具通过平面直角坐标系可对几何元素进行定量的分析在平面内，两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程【解】以两点的连线段所在的直线
34、为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系则由椭圆的定义知，所求动点的轨迹为椭圆设所求椭圆方程为1，2a10,2c8，a5，c4，则b29，故所求椭圆的方程为1.利用Dandelin双球研究圆锥曲线问题图252一个顶角为60的圆锥面被一个平面所截，如图252所示，Dandelin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？【思路探究】解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素，再利用相应关系研究截线的性质【自主解答】Dandelin双球均在顶点S的同侧，所以截线为椭圆设A、B分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1、F2分别是其焦点，O1、O2分别为
35、Dandelin双球中小、大球的球心，C、D分别为截面圆与母线的切点CSO130，O1C1，SC.同理SD5，则CD4.又BF1BF2BCBDCD，2aBF1BF24，即a2.再延长O1F1交O2D于点G，过O2作O2FF1G交F1G于点F，则O1Fr1r26.又CD4，DSO230，O1O28，在RtO1O2F中，FO22.即2cF1F2FO22，故c.所以，离心率e.1解答本题时，先在图形中找出长轴与焦点，然后再求值2解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然后利用圆锥曲线的定义及性质来解决已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30，在轴线上取一点C，使SC5，通过点C作一截面使它与轴线所
36、成的角为45，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和【解】截得的曲线是椭圆e.设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1，F2，如图所示，MF1MF2AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2.SO12R1，CO1R1，SC(2)R15，即R1.SO22R2，CO2R2，SC(2)R25，即R2.O1O2CO1CO2(R1R2)10，ABO1O2cos 30O1O25，即MF1MF25.图253(教材第47页习题25第2题)如图253，F1、F2为椭圆的两个焦点，直线m为其准线(1)设椭圆的离心率e，试确定点P的位置，使PAPF1取
37、得最小值；(2)设椭圆的长轴长等于6，AF2，试求PA PF1的最大值和最小值(2013合肥质检)已知双曲线1的右焦点为F1，点A(9,2)不在双曲线上，试在这个曲线上求一点M，使|MA|MF1|的值最小，并求出最小值【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，由题设a3，b4，c5，e.【解】如图所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，作MNl于N，则|MN|MF1|，因此|MA|MF1|MA|MN|，当A、M、N三点共线时，即点M坐标为(，2)时，|MA|MF1|取最小值为|AN|9.1平面内若动点M到两定点F1，F2的距离和为定值m(m0)，则动点M的轨迹是()A椭圆B线段C不存在
38、 D以上都有可能【解析】当m|F1F2|时，轨迹为椭圆；当m|F1F2|时，轨迹为线段；当m|F1F2|时，轨迹不存在【答案】D2平面内与圆C：(x2)2y21外切，且与直线x1相切的动圆圆心M的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线【解析】由题意知动点M到定点(2,0)和到定直线x2的距离相等，故选D.【答案】D3设P是椭圆上任意一点，F1为其左焦点，已知椭圆的长轴长10，焦距为6，则PF1的最小值为_【解析】由题意知a5，c3，所以PF1的最小值为ac2.【答案】24已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则离心率的最大值为_【解析】PF14PF2
39、，又PF1PF22a，3PF22a，PF2，又PF2ca，ca，ca，e.【答案】一、选择题1如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A(0，)B(0,2)C(1，) D(0,1)【解析】将所给方程x2ky22转化为标准形式，即1，因为焦点在y轴上，所以有2，于是0k1.【答案】D2双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为()A. B.C. D2【解析】由题意知，3，e.【答案】B图2543已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，准线为l1，l2，两顶点为A1，A2，如图254所示已知F1F210，A1A26，若双曲线右支上一点P到l2的距离是5，则
40、PF2为()A. B.C. D.【解析】由已知得a3，c5，则双曲线的离心率e，由圆锥曲线的统一定义得，PF2.【答案】B4过双曲线M：x21的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|BC|，则双曲线M的离心率是()A. B.C. D.【解析】直线l的方程为yx1与渐近线ybx的交点为C(，)，AC的中点为(，)，在渐近线ybx上，则b，b3，c，e.【答案】A二、填空题5已知双曲线的两焦点为F1，F2，焦距为2，点P在双曲线上，且满足F1PF290，又PF1PF24，则F1PF2的面积为_【解析】由题意知由得PFPF2PF1PF216，把代入得PF
41、1PF22，SF1PF2PF1PF21.【答案】16如图255，把椭圆1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|P2F|P7F|_.图255【解析】由椭圆的对称性可知，P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，故P1到右焦点的距离与P7到左焦点的距离是相等的，同理可得，P2到右焦点的距离与P6到左焦点的距离是相等的，P3到右焦点的距离与P5到左焦点的距离是相等的，由椭圆的定义知，|P1F|P2F|P7F|7a35.【答案】35三、解答题图2567如图256所示，已知椭圆的左右两个焦点分别为F1，F2，且椭圆的长
42、轴长为10，焦距为6，P为椭圆上一点，且满足cosF1PF2，求F1PF2的面积【解】由椭圆的定义，PF1PF210，在F1PF2中，由余弦定理F1FPFPF2PF1PF2cosF1PF2，即PFPFPF1PF236，2整理得PF1PF224，因此SF1PF2PF1PF2sinF1PF224 8.8已知点A(1,2)在椭圆1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|2|PF|最小【解】如图所示，a216，b212，c24，c2.F为椭圆的右焦点，并且离心率e.设P到右准线的距离为d.则|PF|d，d2|PF|.|PA|2|PF|PA|d.由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)
43、与A点的纵坐标相同时，|PA|d最小把y2代入1，得x(x舍去)即点P(，2)为所求9离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设1(ab0)是优美椭圆关于“优美椭圆”的下列性质请给予证明(1)过椭圆的右焦点F作x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，则0(O为原点)；(2)若A是椭圆的左顶点，B、C是短轴两个顶点，F是右焦点，则A，B，C，F四点共圆【证明】(1)e，e是方程x2x10的根，e2e10，即()210，a2c2ac，即b2ac.又P(c，)，Q(c，)，c20.(2)由b2ac，|OB|2|OA|OF|，FBOBAO，FBA90，同理FCA90，A、B、C、F四点共圆10(2012安徽高考)如
44、图，F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值【解】(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B(c，c)，所以|AB|c0|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3
45、at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.球的截面平面截球所得的交线是圆，连接球心O与截面圆的圆心O所得直线与截面垂直，设球的半径为R，圆的半径为r，则有r2OO2R2.已知过球面上，A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ABBCCA2，求球面面积【解】如图，过A，B，C三点截面圆的圆心为O，连接AO，OO，AO，则OO平面ABC，OOAO.在ABC中，ABBCCA2，ABC为边长是2的正三角形，AOAB.设球的半径为R，则AOR，OOR.在RtAOO中，由勾股定理得AO2AO2OO2，即R2()2(R)2，R，从而球面的面积为S4R
46、24()2.圆柱、圆锥的截面平面与圆柱面或圆锥面的交线问题，常常考虑作出恰当的轴截面，建立有关量的关系设圆锥的底面半径为2，高为3，求：(1)内接正方体的棱长；(2)内切球的表面积【解】(1)过正方体的一顶点作圆锥的一个轴截面，如图所示设正方体的棱长为a，则OCa，OOa.由VOCVOF，VOVOOCOF，即(3a)3a2，a1824.(2)作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为R，则VB.BO为ABV的平分线，VOODVBBD，即(3R)R2，解得R(2)，S球4R24(2)2(174).圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的统一定义和几何性质是研究圆锥曲线的重要方法和途径图21如图21，设动点P
47、到点A(1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，APB2，且存在常数(01)，使得d1d2sin2.证明：动点P的轨迹C为双曲线【证明】在PAB中，|AB|2，则22dd2d1d2cos 2，4(d1d2)24d1d2sin2，即|d1d2|22(常数)，点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长为2a2的双曲线.转化与化归的思想在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助Dandelin双球内切于圆柱面的球此时，几何体的结构较为复杂因此在处理这类问题时，可作圆柱面或圆锥面的轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决即立体问题平面化在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的
48、球，两球的球心距离为13，若作一个平面这两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆求此椭圆的长轴长【解】如图为圆柱面的轴截面图AB为与两球O1和O2相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.OO1OD，O1COA，OO1CAOD，且O1COD6，RtOO1CRtAOD，OAOO1，AB2AO2OO1O1O213.AB即为椭圆的长轴，椭圆的长轴长为13.综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法不正确的是()A圆柱面的母线与轴线平行B圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面
49、(垂直于母线的截面)C圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径【解析】A显然正确；轴截面总过轴线，因此轴截面与直截面垂直，B正确；由公式ecos 知，C正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D错【答案】D2已知方程1表示双曲线，则k的取值范围是()A1k1Bk0Ck0 Dk1或k1【解析】(1k)(1k)0，即(k1)(k1)0，1k1.【答案】A3圆锥的顶角为60，截面与母线所成的角为60，则截面所截得的截线是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线【解析】依题意截面与圆锥轴线的夹角为90，截线为圆【答案】A图14如
50、图1所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是()A BC D【解析】如图所示，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图，当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图，当平面经过轴AB时，截得的图形是图，当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图，故有可能的图形是.【答案】D5若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率为()A. B2C3 D2【解析】由题意知，e3.【答案】C图26如图2所示，圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为(
51、)A10 cmB. cmC5 cmD5 cm【解析】如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离设圆柱的底面半径为r，则r.底面圆周长l2r5，AB.ADBC5，AC (cm)【答案】B7若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r3的O，该圆柱的斜截面与轴线成60角，则截线椭圆的离心率e()A. B.C. D.【解析】依题意，在椭圆中，a2，br3，c，e.【答案】C8已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B(0，C(0，) D，1)【解析】由题意知bc，即a2c2c2，0.【答案】C图39如图3，一个圆柱被一
52、个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为()A20 B16C14 D8【解析】由已知圆柱底面半径r2.即直径为4.设截面与圆柱母线成角，则sin ，cos .几何体的最长母线长为22acos 255.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径r2，高为7的圆柱，其体积为V22728.所求几何体的体积为V14.【答案】C10一平面截圆锥面得一椭圆，已知截面与圆锥面的轴线的夹角为60，该截面的Dandelin双球的半径分别为r和2r，球心距为4r，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】设圆锥的顶角为2，则cos ，椭圆的离心率e.【答
53、案】D二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11若双曲线y21的两焦点是F1、F2，A是该曲线上一点，且|AF1|5，那么|AF2|等于_【解析】由题意知a3，c，点A在靠近焦点F1的一支上，|AF2|AF1|6，|AF2|11.【答案】1112已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_.【解析】由已知得|AF1|AF2|BF1|BF2|10，|AF1|AF2|BF1|BF2|20，|AF1|BF1|20|AF2|BF2|20128，即|AB|8.【答案】813已知圆锥面的轴截面是正三角形，用一个与轴线
54、成45角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所得的交线是_【解析】由已知圆锥的母线与轴线的夹角为30，又4530，交线是椭圆【答案】椭圆14一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_【解析】设正六棱柱的底面边长为x，则6x3，x.设正六棱柱的高为h，由其体积V知，6()2h，h.正六棱柱外接球的直径恰好是正六棱柱的体对角线长，2R，R1.V球.【答案】15一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e_.【解析】依题意：Dandelin双球球心距离即为圆柱母
55、线长2a12，a6.又br4，c2.椭圆的离心率e.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)高5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 cm，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5,0)，B(5,0)，求地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程【解】设P(x，y)，依题意，化简即得：4x24y285x1000.17(本小题满分12分)一个圆锥形漏斗口的内周长为8 cm.漏斗深9.6 cm，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4 cm，求球的体积【解】作共同的轴截面图(如图)，得等腰PAB和圆O，球
56、的最高点C，球心O和圆锥顶点P三点共线，DABPC，依题设：PD9.6，CD2.4，AD4.过C作A1B1AB与PA、PB的延长线分别交于点A1、B1，则A1B1与圆O相切于C.且有1.25.A1C1.25，AD5.PA113.记PA1与圆O的切点为E，则A1CA1E，且PEOPCA1，即，PEPA1A1E1358，OE，即得球半径R，所以它的体积为VR3(cm3)18(本小题满分12分)已知抛物线y22px上有三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、且x1x2x3，若线段AB、BC在x轴上射影长相等求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列【证明】根据题意，得x2x1x
57、3x2，即x1，x2，x3成等差数列，又由抛物线的定义得：|AF|x1，|BF|x2，|CF|x3.2|BF|2(x2)2x2p，|AF|CF|x1x3p2x2p2|BF|，|AF|CF|x1x3p2x2p2|BF|，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列19(本小题满分13分)已知一平面与圆柱的母线成45角，Dandelin双球上的最短距离为2，求截线椭圆的长轴、短轴长和离心率【解】如图为圆柱面的轴截面作O2AO1A于A，且O1A与截面平行设Dandelin双球的球心分别为O1，O2，半径为r，则O1O22r2，sin ，又45，解得r1.椭圆的长轴长：2(2)短轴长：2(1)，离心率：ec
58、os 45.20(本小题满分13分)已知抛物线的焦点F，准线l，设F到l的距离|EF|p(p0)，一定点A到直线EF的距离也为p，在抛物线上找一点B，使点B到A、F距离和最小，求此时BEF的面积【解】如图所示，过点B作准线l的垂线，垂足为C.由抛物线定义，|BC|BF|，欲使|BA|BF|最小，只要|AB|BC|最小即可而当A、B、C共线时，|AB|BC|最小，此时，直线ABEF，又点A到直线EF的距离也为p.故点B到直线EF的距离也为p.又|EF|p，SBEFppp2.21.(本小题满分13分)求过点A(2,0)且与圆x24xy2320内切的圆的圆心的轨迹方程【解】将圆的方程化为标准形式(x
59、2)2y262，这时，已知圆的圆心坐标为B(2,0)，半径为6，作图知(如图所示)：设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|BM|CM|6，又|CM|AM|，|BM|AM|6，根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(2,0)和点A(2,0)为焦点、线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆a3，c2，b，所求圆心的轨迹方程为1.选修41模块学习评价模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
60、合题目要求的)图11如图1，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为()A6 cmB12 cmC18 cm D24 cm【解析】根据AEED，ABEMDC，有BMMC.又EFBC，所以EFMC，于是EFBC.【答案】D图22如图2，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为()A.米 B1米C.米 D.米【解析】，得h(米)【答案】C图33如图3，O内切于ABC，切点分别为D、E、F.已知B50，C60，连接OE、OF、DE、DF，那么EDF等于()A40 B55C65 D70【解析】B50，C60，A70，EOF110，EDF
61、55.【答案】B4若两条直线(a2)x(1a)y30，(a1)x(2a3)y20与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a()A1 B1C1 D2【解析】两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直， 这两条直线垂直，即(a2)(a1)(1a)(2a3)0，a21，a1.【答案】C图45如图4，在梯形ABCD中，ADBC，BAD135，以A为圆心，AB为半径，作A交AD、BC于E、F两点，并交BA延长线于G，则的度数是()A45 B60C90 D135【解析】的度数等于圆心角BAF的度数，由题意知B18013545，BAF1802B90.【答案】C6一圆锥面的
62、母线和轴线成30角，当用一与轴线成30的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D两条相交直线【解析】由平面截圆锥面的定理知，所得交线是抛物线【答案】C图57如图5，AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB6，CD2，则线段AC的长度为()A5 B.C. D3【解析】连接BC，AB垂直平分CD，CP2APPB.设PBx，则AP6x.x(6x)5，x11，x25(舍去)AC.【答案】C图68如图6所示，已知线段AB4，动圆O与线段AB切于点C，且ACBC2，过点A、B分别作O的切线，两切线相交于点P，且P、O均在AB的同侧，当O的位置变化时，动
63、点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C椭圆的一部分 D双曲线的一部分【解析】PA、PB与O的切点分别是M、N，则PAPB(PMMA)(PNNB)MANBACBC2，故P点的轨迹是双曲线的一支(除去C点)【答案】D图79如图7，E，C分别是A两边上的点，以CE为直径的O交A的两边于点D、B，若A45，则AEC与ADB的面积比为()A21 B12C.1 D.1【解析】连接BE，求AEC与ABD的面积比即求AE2AB2的值，设ABa，A45，又CE为O的直径，CBEABE90，BEABa，AEa，AE2AB22a2a2，即AE2AB221，SAECSADB21.【答案】A图810如图8，ABC的底边BC
64、a，高ADh，矩形EFGH内接于ABC，其中E、F分别在边AC、AB上，G、H都在BC上，且EF2FG，则矩形EFGH的周长是()A. B.C. D.【解析】设FGx，因为EF2FG，所以EF2x.因为EFBC，所以AFEABC.又ADBC，设AD交EF于M，则AMEF.所以，即.所以.解之，得x.所以矩形EFGH的周长为6x.【答案】B二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)图911如图9，O的直径为AB，弦CD垂直平分OA，垂足是E点，则圆弧的度数为_【解析】连接CO，DO，CO2EOECOEDO30COD120，即弧的度数为120.【答案】120图1012如
65、图10，点E、F分别在AD、BC上，已知CD2，EF3，AB5，若EFCDAB，则等于_【解析】如图，过C作CHDA交EF于G，交AB于H，则EGAHDC2，GF1，BH3，GFHB，.【答案】图1113(2013陕西高考)如图11，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.【解析】因此PEBC，所以CPED.又因为CA，所以APED.又PP，所以PDEPEA，则，即PE2PDPA236，故PE.【答案】图1214如图12所示，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.【
66、解析】连接OA.AP为O的切线，OAAP.又ABC30，AOC60.在RtAOP中，OA1，PAOAtan 60.【答案】图1315(2013洛阳模拟)已知如图13，ABC中，边AC上一点F分AC为，BF上一点G分BF为，AG的延长线与BC交于点E，则BEEC_.【解析】过F作FDAE交BC于D，如图所示，则，故CDDE，BEDE，ECCDDEDEDEDE，从而.【答案】35三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)图1416(本小题满分12分)已知：如图14所示，AB是O的直径，PA是O的切线，过点B作BCOP交O于点C，连接AC.(1)求证：ABCPOA
67、；(2)若AB2，PA，求BC的长(结果保留根号)【解】(1)证明：因为AB为O的直径，PA切O于点A，所以PAOC90，因为BCOP，所以BAOP.所以ABCPOA.(2)在RtAPO中，PO，由ABCPOA，得，即，所以BC.图1517(本小题满分12分)(2013江苏高考)如图15，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.【证明】连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.图1618(本小题满分12分)如图16，O中的弦AB与直径CD相交于
68、点P，M为DC延长线上一点，MN为O的切线，N为切点，若AP8，PB6，PD4，MC6，求MN的长【解】由相交弦定理，PAPBPCPD，即86PC4，得PC12.又MN为O切线，MN2MCMD6(6124)132，MN2.图1719(本小题满分13分)如图17，已知O是ABC的外接圆，ABBC，AD是BC边上的高，AE是O的直径(1)求证：ACBCADAE；(2)过点C作O的切线交BA的延长线于点F，若AF4，CF6，求AC的长【解】(1)证明：连接BE，则ABE为直角三角形ABEADC90，AEBACB，ABEADC.则，即ABACADAE.又ABBC，ACBCADAE.(2)FC是O的切线
69、，FC2AFBF.又AF4，FC6，BF9，ABBFAF5.ACFFBC，又CFBAFC，AFCCFB.则，即AC.20(本小题满分13分)(2013新乡模拟)已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB10，AC12.(1)求证：BADCGCAD；(2)求BM.图20【解】(1)证明：因为ACOB，所以AGB90，又AD是圆O的直径，所以DCA90，又因为BAGADC(弦切角等于同弧所对圆周角)所以AGBDCA，所以，又因为OGAC，所以GCAG，所以，即BADCGCAD.(2)因为AC12，所以AG6，因为AB10，所以
70、BG8，由(1)知：RtAGBRtDCA，所以，所以AD15，即圆的直径2r15，又因为AB2BM(BM2r)，即BM215BM1000.解得BM5.图1821(本小题满分13分)如图18，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M，E，CE的延长线交A于F，CM2，AB4.(1)A的半径；(2)求CE的长和AFC的面积【解】(1)四边形ABCD为矩形，AB4，CD4.在RtACD中，AC2CD2AD2，(2AD)242AD2.解得：AD3，A的半径为3.(2)过点A作AGEF于点G，BC3，BEABAE431，CE，ADC90，CD为A的切线，CECFCD2，CF.又BAGE90，BECGEA，BCEGAE，即.AG，SAFCCFAG.