1、第二节随机事件及其概率1事件的相关概念2频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率3概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率为.(3)不可能事件的概率为.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，
2、则AB为必然事件，P(AB)1，P(A)1P(B)小题体验1同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件有_个解析：由题意知，事件A包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个. 答案：62如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是_答案：3一袋中装有10个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球，其中有3个黑球，若从中随机摸出1个球，摸出红球的概率为0.2，则摸出白球的概率为_解析：法一：设袋中红球的个数为x，则0.2，所
3、以x2.又黑球共有3个，所以白球有5个，所以摸出白球的概率P0.5.法二：由题意得，随机摸出1个球，摸出黑球的概率为0.3.由对立事件的概率计算公式可得，摸出白球的概率为1(0.20.3)0.5.答案：0.51易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件小题纠偏1某地气象局预报说，明天本地降雨概率为80%，则下列解释正确的是_(填序号)明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨；明天本地有80%的时间降雨
4、，20%的时间不降雨；明天本地降雨的可能性是80%；以上说法均不正确解析：显然不正确因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.答案：2从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为_解析：由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175 cm的概率为1(0.20.5)0.3.答案：0.3题组练透1一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件恰有1件次品和恰有2件次品；至少有1件次品和全是次品；至少有1
5、件正品和至少有1件次品；至少有1件次品和全是正品以上各组事件中是互斥事件的序号是_解析：中的两事件互斥，中的两事件不互斥答案：2已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，有下面4个命题：“若xA，则xB”是必然事件；“若xA，则xB”是不可能事件；“若xB，则xA”是随机事件；“若xB，则xA”是必然事件其中正确的命题有_(填序号)解析：由真子集的定义可知是正确的命题答案：3对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB
6、，AC，BC，BD，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件而BD，BDI，故B与D互为对立事件答案：A与B，A与C，B与C，B与DB与D谨记通法判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 题组练透1某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每
7、瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25 ，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温()10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40频数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为_解析：当且仅当最高气温低于25 时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表格数据知
8、，最高气温低于25 的频率为0.6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.答案：0.62某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194492178452击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1)由f，得击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.904.(2)由(1)知运动员击中10环的频率在0.9附近浮动，故这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.谨记通法1频率与概率的关系频率反映了
9、一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率提醒概率的定义是求一个事件概率的基本方法典例引领(2018苏州期末)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为_解析：设“目标受损但未完全击毁”为事件A，则其对立事件是“目标未受损或击毁目标”，所以P(A)1P()1(0.40.2)0.4.答案：0.4由题悟法求复杂互
10、斥事件概率的2种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法较简便提醒应用互斥事件概率的加法公式，一定注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)即时应用1中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个
11、事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案：2(2018南京、盐城一模)某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为_解析：设“甲、乙不在同一兴趣小组”为事件A，则“甲、乙在同一兴趣小组”为事件.因为P()，所以P(A)1P().答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019丹阳检测)已知随机事件A发生的频率为0.02，事件A出现了1 000次，由此可推知共进行了_次试验答案：50 0002(2018常熟期中)甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的
12、概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为_解析：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P(A)0.3，P(B)0.5，敌机被击中的概率P1P()P()1(10.3)(10.5)0.65.答案：0.653(2019常州中学模拟)甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下成和棋的概率为.则乙不输棋的概率为_解析：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲、乙下成和棋的概率为，乙不输棋的概率P1.答案：4(2018南京学情调研)某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为_解析：从4名员
13、工中随机选2名的所有基本事件共有6个，而甲、乙都未被选中的事件只有1个，所以甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率为1.答案：5如果事件A与B是互斥事件，且事件AB发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为_解析：设P(A)x，P(B)3x，所以P(AB)P(A)P(B)x3x0.64.所以P(A)x0.16.答案：0.166(2018江安中学测试)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有_个解析：根据对立事件的概率计算公式得“摸出蓝球”的概率为10.420.2
14、80.3，口袋内装有红球、黄球和蓝球的总数为50，则蓝球有500.315(个)答案：15二保高考，全练题型做到高考达标1某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为_解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.答案：0.922(2019泰州中学调研)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为_解析：已知2位女同学和2位男同学走出的
15、所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P.答案：3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.答案：4抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的
16、点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(AB)_.解析：事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A).事件B为掷出向上为3点，所以P(B)，又事件A，B是互斥事件，事件(AB)为事件A，B有一个发生的事件，所以P(AB)P(A)P(B).答案：5口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是_解析：设红、黄、白球各有a，b，c个，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，10.60.4，10.650.35，摸出白球的概率P10.40.350.25.
17、答案：0.256从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_解析：“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率为1P(A)0.35.答案：0.357若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)，P(B)，则xy的最小值为_解析：由题意，x0，y0，1.则xy(xy)552 9，当且仅当x2y时等号成立，故xy的最小值为9.答案：98一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则
18、取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.答案：9某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值解：记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为Ak
19、(kN，k5)，则事件Ak彼此互斥(1)因为获奖人数不超过2人的概率为0.56，所以P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56，解得x0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)10.960.04，即z0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即y0.20.040.44，解得y0.2.10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计4
20、0分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，用频率估计概率，可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为所用时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)记事件A1，A2分别表示甲
21、选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，故乙应选择L2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为a，第二次出现点数记为b，则直线axby0与直线x2y10有公共点的概率为_解析：设“直线axby0与直
22、线x2y10有公共点”为事件A，则为“它们无公共点”，因为直线x2y10的斜率k，所以，所以a1，b2或a2，b4或a3，b6，所以P()，所以P(A)1.答案：2若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)2a，P(B)3a4，则实数a的取值范围为_解析：因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)2a，P(B)3a4，所以即解得a.答案：3(2018梁丰中学测试)已知f(x)x22x，x2,1，给出事件A：f(x)a.(1)当A为必然事件时，求a的取值范围；(2)当A为不可能事件时，求a的取值范围解：因为f(x)x22x(x1)21，x2,1，所以f(x)min1，此时x1.又f(2)0f(1)3，所以f(x)max3.所以f(x)1,3(1)当A为必然事件时，即f(x)a恒成立，故有af(x)min1，即a的取值范围是(，1(2)当A为不可能事件时，即f(x)a一定不成立，故有af(x)max3，则a的取值范围为(3，)
