1、第1讲坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标与直角坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|(0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为，则点M可用有序数对(，)表示(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射
2、线Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则相互转化公式为3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(00)，与极轴垂直的直线cos a过点(a0)，与极轴平行的直线sin a(00)，点M的极坐标为(1，)(10).由题设，知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程为4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设，知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积为S|OA|B sin AOB4cos 22.当时，S取
3、得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设圆上的点(x1，y1)变换后为C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x21，即曲线C的方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k，于是所求的直线方程为y1，化为极坐标方程并整理，得2cos 4sin 30.2(2022昆明市诊断测试)
4、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为y21.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(R).(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C2的极坐标方程为8cos 0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B(异于原点)，求|AB|.解(1)因为曲线C1的普通方程为x29y29，将xcos ，ysin 代入上式，得曲线C1的极坐标方程为282sin290.(2)因为A，B两点在直线l上，所以可设A，B.把点A的极坐标代入C1的极坐标方程得，8sin290，解得1.已知A点在第一象限，所以1.因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入C2的极坐标方
5、程得，28cos0，解得24.所以|AB|12|4|5.3(2021安徽五校联盟第二次质检)在直角坐标系xOy中，直线l1：x0，圆C：(x1)2(y1)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为(R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求OAB的面积解(1)因为xcos ，ysin ，x2y22，所以直线l1的极坐标方程为cos 0，即(R).圆C的极坐标方程为22cos 2(1)sin 320.(2)将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.将代入22cos 2(1)sin 3
6、20，得22(1)320，解得21.故OAB的面积为(1)2sin 1.4(2021山西临汾模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2(y2)24，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos2sin (0，0).(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；(2)射线与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围解(1)曲线C1的普通方程为x2(y2)24，把xcos ，ysin 代入，得曲线C1的极坐标方程为4sin ，联立曲线C1，C2的极坐标方程，即得4sin cos2sin ，此时0，当sin 0时，0，0，得交点的极坐标为(0，0)；当sin 0时，cos2，则cos .当cos 时，2，得交点的极坐标为，当cos 时，2，得交点的极坐标为，C1与C2交点的极坐标为(0，0)，.(2)将代入C1的极坐标方程中，得14sin ，代入C2的极坐标方程中，得2，4cos2，14cos23，的取值范围为1，3.