1、第2课时充要条件主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了”主人听了，随口说了句：“该来的没有来”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了”李四听了大怒，拂袖而去问题(1)张三为什么走了？(2)李四为什么也走了？知识点充要条件1一般地，如果pq，且qp，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作pq2p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”3当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件“p是q的充要条件”也可以说成“p与q是等价的”“p成立当且仅当q成立”“
2、q成立当且仅当p成立” 1若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q.2“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论p的充要条件是q说明q是条件，p是结论1“ab0”是“a0，b0”的()A充分而不必要条件B充要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件答案：C2点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()Ax0，y0 Bx0，y0Cx0，y0 Dx0，y0答案：B3从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空(
3、1)“x210”是“|x|10”的_；(2)“x5”是“x3”的_解析：(1)设Ax|x2101，1，Bx|x|101，1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要条件(2)设Ax|x5，Bx|x3，因为AB，所以“x5”是“x3”的必要不充分条件答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件充要条件的判断例1(链接教科书第17页例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？(1)若a，bR，p：a2b20，q：ab0；(2)p：|x|3，q：x29.解(1)若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件(2)由于p：|x|3q：x29，所以p是q的
4、充要条件1判断p是q的充要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件2在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集 跟踪训练1a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0Bab0Ca2b20 Da2b20解析：选Da2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.2设集合Ax|2a1x3a5，Bx|3x22，则A(AB)的充要条件为_；一个充分不必要条件可为_解析：A(AB)AB，Bx|3
5、x22若A，则2a13a5，解得a6；若A，则AB6a9.综上可知，A(AB)的充要条件为a9；一个充分不必要条件可为6a9.答案：a96a9(答案不唯一)充要条件的证明例2证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是ACBD.证明(1)必要性：在等腰梯形ABCD中，ABDC，ABCDCB，又BCCB，BACCDB，ACBD.(2)充分性：如图，过点D作DEAC，交BC的延长线于点E.ADBE，DEAC，四边形ACED是平行四边形DEAC.ACBD，BDDE，E1.又ACDE.2E，12.在ABC和DCB中，ABCDCB.ABDC.梯形ABCD为等腰梯形由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯
6、形的充要条件是ACBD.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；(2)在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论提醒证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向 跟踪训练求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.证明：设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.必要性x1是方程ax2bxc0的根，a12b1c0，即abc0.充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，
7、ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.充分、必要及充要条件的应用例3已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|00)因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以或解得m9，即实数m的取值范围是m|m92(变设问)本例中p，q不变，是否存在实
8、数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解：因为p：2x10，q：1mx1m(m0)若p是q的充要条件，则方程组无解故不存在实数m，使得p是q的充要条件充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解 跟踪训练已知a0，设p：ax3a，q：1x6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()Aa|1a2Ba|1a2Ca|0a1 Da|0a2解析：选C因p是q的充分不必要条件，即解得0a1.故选
9、C.1设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C结合Venn图(图略)可知，ABA，得AB，反之，若AB，即集合A为集合B的子集，则ABA，故“ABA”是“AB”的充要条件故选C.2使不等式2x40成立的一个充分不必要条件是()Ax2 Bx0或x2Cx2，3，5 Dx2解析：选C由2x40得x2，所以选项中只有2，3，5x|x2，故只有C选项中的条件是使不等式2x40成立的一个充分不必要条件3函数yx2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_解析：函数yx2mx1的对称轴为x1，所以m2.答案：24下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：O内两条弦相等，q：O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：AB为空集，q：A与B之一为空集解：(1)因为pq，所以p是q的充要条件(2)O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p不是q的充要条件(3)取A1，2，B3，显然，AB，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件
