1、陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. B分析：根据属于的定义，结合子集的定义，进行判断即可解答：集合，则，选项A错误，选项B正确；，选项C，D错误故选：B2. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. D分析】由，求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.解答：由题意，向量，因为，可得，解得，所以故选：D3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. B试题分析：因
2、为是非奇非偶函数，故A错误；因为是偶函数且在区间上单调递减，故C错误；因为是偶函数，且在区间上单调递减，故D错误；因为是偶函数且在区间上单调递增，故B正确；故选B考点：1函数的奇偶性；2函数的单调性4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，那么的值为（ ）A. B. C. D. D分析：根据是定义在上的奇函数，由求解解答：由题知，因为是定义在上的奇函数，所以故选：D5. 计算：（ ）A. B. C. D. A分析：利用指数和对数的运算法则求解解答：原式,故选：A6. 如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（ ）A. 点与图中的点重合B. 点与图中的点重合C. 点与图中
3、点重合D. 点与图中的点重合C点P与图中的点F重合.本题选择C选项.7. 若角的终边经过点，且，则非零实数（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或D分析：根据正切函数的定义，结合二倍角的正切公式进行求解即可.解答：，即，或1故选：D8. 函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ）A. B. C. D. A分析：令，得到或，在，求得方程的根，即可求解.解答：由题意，令，有，所以或，又，所以或或或或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和为故选：A9. 已知函数的零点为，设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. B分析：根据零点定义将零点转化成函数，的交点，数形结合得，根据指数函
4、数和对数函数的单调性判断出，值，之后比较大小即可得出答案.解答：解：由已知得，数形结合得，则，所以故选：B点拨：根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.10. 已知函数在区间上单调递增将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，且当时，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：根据正弦二倍角化简，再由函数的单调性和值域求解.解答：将
5、化简，得，由已知可得，则因为，所以所以，当时，又，结合正弦函数的图象可得，所以点拨：本题考查三角函数的恒等变换和函数的单调性和值域，属于基础题.11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：根据方程有两个不相等的实数根，转化为有两个交点，利用数形结合法求解.解答：的图象如下图所示：因为方程有两个不相等的实数根，所以，解得故选：B12. 设函数的图象为下面两个图中的一个，则函数的图象的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. A分析：根据图象变换，分，结合图象讨论求解.解答：若的图象是图2由平移变换知：，则，令，得这与图象不符若的图象是图1
6、由平移变换知：，则，令，得符合题意.故选：A13. 已知函数满足：当时，当时；当时，（，且）若函数的图象上关于原点对称的点至少有对，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. C分析：利用函数的周期性，作出函数的图象，结合图象，根据零点的个数，得出满足条件的不等式组，即可求解.解答：由题意，函数满足：当时，所以函数的周期为，当当时；先作出函数在上部分图象，再作出该部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有对，要使得函数的图象与所作的图象至少有三个交点，则满足，解得，即实数a的取值范围是故选：C点拨：有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令，有几个解，
7、函数就有几个零点；（2）零点的存在定理法：要求函数在区间上连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数的零点个数.14. 已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且若，则（ ）A. B. C. D. C分析：取的中点，根据题意，可得为的重心，则G在AD上，又，可得，所以，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案.解答：取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，所以，而，所以，四点共线，所以，即，不妨令，则，所以故选：C二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分15. 函数在上的最大值为
8、_分析：根据函数的图象与性质，结合单调性，即可求解.解答：根据函数的图象与性质，可得函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，最大值为故答案为：1.16. 已知某扇形的周长是，圆心角的弧度数为，则该扇形的面积是_4分析：根据扇形的周长是，圆心角的弧度数为，由求解，解答：设扇形的半径为，所对弧长为，则，解得，所以扇形面积故答案为：417. 已知向量，满足，若与的夹角为，则_4分析：根据，且与的夹角为，利用数量积的定义和运算律求解.解答：因为向量，满足，且与的夹角为，所以，故答案为：418. 已知函数有最小值，则的取值范围为_分析：函数有最小值，所以求出，则有，代入求出的取值范围.解答：当时，的
9、最小值为当时，要使存在最小值，必有，解得，故答案为：.点拨：本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题.易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.19. 已知，则_分析：由两角和的正切公式展开后计算解答：因为，所以故答案为：20. 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则下列关于的说法中正确的为_.(填序号)；单调增函数；为奇函数；分析：令(为常数)，由得到，且，将代入得到，结合是定义域为的单调函数，然后逐项判断.解答：令(为常数)，所以，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解.因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数
10、，所以可知方程有唯一解，又因为，所以，即，综上正确，错误. 故答案为：点拨：关键点点睛：本题关键是利用是单调函数，由，结合解得而得解.三、解答题：共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. 已知向量，其中，（1）当时，求的取值范围；（2）当时，求的取值范围；（3）当且为偶数时，证明：对于任意的，都有（1）；（2）；（3）证明见解析.分析：（1）计算出，然后利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得取值范围；（2）计算出，然后利用、二倍角公式变形后利用正弦函数性质得取值范围；（3）计算出，利用不等式性质由，放缩后可证解答：（1）解：当时，（2）解：当时，
11、（3）证明：当，时，从而，故问题得证点拨：关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，考查三角函数的恒等变换与正弦函数的性质解题方法是求出数量积后，由三角函数恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质得值域22. 已知向量，函数（1）若，求的单调减区间；（2）若，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数在区间上的最值（1）；（2）最小值，最大值分析：根据平面向量数量积的坐标表示公式化简函数的解析式.（1）运用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）运用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦型函数图象的变换性质求出函数的解析式，最后利
12、用正弦型函数的性质进行求解即可.解答：解：，（1），由，得，函数的单调减区间为（2）当时，可知，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为当时，当，即时，取最小值；当，即时，取最大值23. 某公园欲将如图所示的一块矩形空地进行重新规划，拟在边长为的正方形内种植红色郁金香，正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香现要将以为一边长的矩形改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，设，（1）求与之间的函数关系式；（2）求的最大值（1），；（2）分析：（1）本题首先可根据题意得出、，然后根据绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积得出，最后根据即可求出与之间的函数关系式；（2
13、）本题首先可设，则以及，然后根据得出，再然后将与之间的函数关系式转化为，最后通过函数的单调性即可得出结果.解答：（1）在中，则，在中，则，则，因为绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，所以，则，即，.（2）令，则，因为，所以，因为，所以，因为易知在上单调递增，所以，的最大值为.点拨：关键点点睛：（1）实际问题中求解函数关系式时，在给出正确的函数解析式时还要注意定义域问题；（2）与的关系：.24. 设，当时，的值域为（1）求a的值；（2）若存在实数，使对任意的恒成立，求实数的取值范围（1）；（2）分析：（1）根据函数单调性确定最值点，利用最大值和最小值构造方程可求得结果；（2）将恒成立的不等式变为，得到的范围的同时，将问题转化为存在，使得，可知，通过讨论对称轴的位置确定最小值点，进而构造不等式求得结果.解答：（1）在上单调递减且值域为，即，解得：，.（2）由（1）知：对任意的恒成立，整理得：对任意的恒成立，令，则，又，由得：，令，则问题转化为：存在，使得，则当时，.，的对称轴，当，即时，解得：，；当，即时，解得：，；综上所述：实数的取值范围为.点拨：关键点点睛：本题考查函数中的恒成立和能成立问题的求解，解题关键是能够通过恒成立将问题转化为最值的求解，同时能够将问题转化为与新变量有关的能成立问题的求解.