1、安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题 理（含解析）一、选择题1.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意得到，再由求出，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数对应复平面上的点，所以，又复数满足，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查复数的模的计算，熟记复数的运算法则以及复数的几何意义即可，属于基础题型.2.我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回
2、一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）A. 58B. 59C. 60D. 61【答案】C【解析】【分析】先求出100天内三人各回娘家的天数，然后计算出任意两人共同回娘家的天数，再计算出三人同时回娘家的天数，根据集合间关系可得结论【详解】100天内大女儿回娘家20天，二女儿回娘家25天，小女儿回娘家33天，大女儿和二女儿同时回娘家的天数为5，大女儿和小女儿同时回娘家的天数为6，二女儿和小女儿同时回娘家的天数是8，三人同时回娘家的天数是1，有
3、女儿回娘家天数为故选：C【点睛】本题考查合情推理，解题可抽象为集合的关系，100天中，用集合表示大女儿回家的日子，集合表示二女儿回家的日子，集合表示小女儿回家的日子，有女儿回娘家的天数即为求中元素的个数，由结论可得3.设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )A. 都不大于2B. 都不小于2C. 至少有一个不大于2D. 都小于2【答案】D【解析】【详解】原命题为特称命题，故其否定为全称命题原结论的否定为：三个数都小于2，本题选择D选项.4.已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式乘
4、除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解【详解】 为纯虚数， ，即 故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题5.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.6.用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在基础上加上（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出和时的两式，然后比较可得【详解】时等式为，时等式为，当时，等式左端应在的基础上加上，故选：B【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的
5、关键、难点就在于用的假设结论证明的的结论，因此观察出与之间式子的关系至关重要7.已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】D【解析】试题分析：,又因为是函数的极小值点，所以，所以，由，或，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的极大值为，故选D.考点：导数与函数的单调性与极值.8.如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述
6、判断中正确的是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于，函数y=f（x）在区间（3，）内有增有减，故不正确；对于，函数y=f（x）在区间（，3）有增有减，故不正确；对于，函数y=f（x）当x（4，5）时，恒有f（x）0故正确；对于，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故不正确；对于，当x=时，f（x）0，故不正确故选D9.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（ ）A. 16B. 12C. 32D. 6【答案】C【解析】【详解】 当或时，当时， 的最值分别是中的最小者和最大者， ,故选C.10.函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
7、】C【解析】【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围.【详解】函数，.则，因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即， 所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基础题.11.已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，即，从而，令，则由得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化
8、与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.12.函数是上的可导函数,时，则函数的零点个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由于函数g(x)f(x)+，可得x0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑
9、xg（x）=xf（x）+1 的零点由于当x0时，f(x)+0，当x0时，=0，所以在（0，+）上是单调递增函数又，当x（0，+）时，函数=1恒成立，因此=在（0，+）上没有零点当x0时，由于=0，故函数在（-，0）上是递减函数，函数=1恒成立，故函数在（-，0）上无零点综上可得，函g(x)f(x)+在R上的零点个数为0.考点：函数与导数的关系，函数零点，转化思想二、填空题13.观察下列等式照此规律，第个等式为 【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即14.若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则_【答案】【解析】【分析】先由作差法求出数列的通项公式为，即可计算出，然后利用
10、常用数列的极限即可计算出的值.【详解】当时，可得；当时，由，可得，上式下式得，得，也适合，则，.所以，.因此，.故答案：.【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限计算，考查计算能力，属于中等题.15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数b=_.【答案】.【解析】设直线与曲线和曲线的切点分别为，.直线是曲线的切线，也是曲线的切线，即.切线方程为，即为或，即为，则故答案为.点睛：本题以导数的几何意义为载体，解答本题的关键是根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求参数即可16.若函数在处取得极大值，则正数的取值范围是_【答案】【解
11、析】【分析】先求函数的导数，然后对的范围进行讨论，使得的左侧对应的值大于零，右侧对应的值小于零，即可求出实数的取值范围.【详解】的定义域是（0，+），当0a2时，令，解得：x或x，令，解得：x，在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，函数在x=处取得极大值，符合题意，a2时，f（x）0，递增，无极值，a2时，令，解得：x或x，令，解得：x，在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，函数在x处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意，综上，a（，2），故答案为：（0，2）【点睛】该题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，学
12、生往往忽视验证两侧的导数是否异号，是难题.三、解答题17.已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)exax1的定义域为(0，)(1)设ae，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性【答案】（1）y1.（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为f(1)，再根据点斜式求切线方程（2）先求导数，再根据导函数零点情况讨论，结合导函数符号确定函数单调性试题解析：(1)ae，f(x)exex1，f(x)exe，f(1)1，f(1)0.当ae时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y1.(2)f(x)exax1，f(x)
13、exa.易知f(x)exa在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，由f(x)exa0，得xlna，当0xlna时，f(x)lna时，f(x)0，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增18.已知，.（1）当n1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）当n1时，f(1)g(1)；当n2时，f(2)g(2)；当n3时，f(
14、3)g(3)； （2）猜想：，证明见结论.【解析】(1)当n1时，f(1)g(1)；当n2时，f(2)g(2)；当n3时，f(3)g(3)(2)猜想：f(n)g(n)(nN*)，即12(1)(nN*)下面用数学归纳法证明：当n1时，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)g(1)假设当nk时，猜想成立，即12(1)则当nk1时，f(k1)12(1)22，而g(k1)2(1)22，下面转化为证明：.只要证：2(k1)12k32，需证：(2k3)24(k2)(k1)，即证：4k212k94k212k8，此式显然成立所以，当nk1时猜想也成立综上可知：对nN*，猜想都成立，即1(nN*)成立19.已知
15、在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直（1）求的值和切线的方程；（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围【答案】（1）（2）或【解析】【详解】（1），由题意知，方程有两个相等的根，此时方程化为，得，解得切点的纵坐标为，切线的方程为，即（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），则由（1）知，由正切函数的单调性可得的取值范围为或20.已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（I）求和的值.（II）求函数的解析式.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可详解：（1）
16、f（x）在点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0故点（1，f（1）在切线6xy+7=0上，且切线斜率为6得f（1）=1且f（1）=6（2）f（x）过点P（0，2）d=2f（x）=x3+bx2+cx+df（x）=3x2+2bx+c由f（1）=6得32b+c=6又由f（1）=1，得1+bc+d=1联立方程得故f（x）=x33x23x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力21.如图所示，在中，其中，分别为角，的对边，在四面体中，分别表示，的面积，依次表示面，面，面与底面所成二面角的大小写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论【答案】在四面体中的结论为，
17、证明详见解析【解析】【分析】在由平面图形到空间图形的类比中，一般是由点的性质类比推理的线的性质，由线的性质类比到面的性质，即可得到结论, 设点在底面的射影为点，过点作，交于，连接，,得到，所以，从而得到，同理，从而得证.【详解】解：类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，连接，就是平面与底面所成的二面角，则，同理，又，【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的
18、结论不一定正确，对于类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.属于中档题.22.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数与的图象的交点个数.【答案】(1)时，增区间是,无减区间；时，增区间是，减区间是；(2)1个【解析】试题分析：(1)首先求得函数的定义与导函数，然后分、讨论函数的单调区间；(2)首先将问题为函数的零点个数，然后分、求导研究函数的单调性，由此求得函数零点个数，从而使问题得解试题解析：(1) 函数的定义域为.当时，所以的增区间是，无减区间；当时，当时，,函数单调递减；当时，,
19、函数单调递增.综上，当时，函数的增区间是,无减区间；当时，的增区间是，减区间是.(2)令，问题等价于求函数的零点个数当时，有唯一零点；当时，.当时，,当且仅当时取等号，所以为减函数注意到,所以在内有唯一零点；当时，当，或时，时，所以在和上单调递减，在上单调递增注意到，所以在内有唯一零点；当时，或时，时，所以在和上单调递减，在上单调递增注意到，所以在内有唯一零点.综上，有唯一零点，即函数与的图象有且仅有一个交点.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的零点【方法点睛】当在区间上是增函数时在上恒成立；同样，当函数在区间上为减函数时在)上恒成立，然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了
