1、第8讲n次独立重复试验与二项分布1条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1；(2)若B，C是两个互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2事件的相互独立(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P
2、(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率1A，B中至少有一个发生的事件为AB.2A，B都发生的事件为AB.3A，B都不发生的事件为.4A，B恰有一个发生的事件为(A)(B)5A，B至多有一个发生的事件为(A)(B)()1如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等(区域的分界线忽略不计)，那么两个指针同时落在奇数所在区域
3、的概率是()A.BCD答案A解析设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B).则P(AB)P(A)P(B).2(2021东北三省四市教研联合体高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为()A4B5C6D7答案A解析P1n，解得n4.故选A.3袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为()A.BCD答案B解析前3次都取不到红球的概率为3，第4次取到红球的概率为，则第4次首次取到红球的概率为3.4设随机变量XB(2，p
4、)，YB(4，p)，若P(X1)，则P(Y2)的值为()A.BCD答案B解析P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p.故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1C4C3.5(2022江西吉安摸底)由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)()A.BCD答案A解析因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)，所以P(A|B).6(2021天津高考)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本
5、次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为_答案解析由题可得一次活动中，甲获胜的概率为，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C23.考向一条件概率例1(1)(2022辽宁沈阳东北育才学校月考)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率为()A.BCD答案C解析记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，则P(A)C2C3，P(A
6、B)，所以P(B|A).(2)(2021合肥调研)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)()A.BCD答案C解析由题设，得P(B)，P(AB)，故P(A|B).条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)(2)基本事件法：用古典概型的概率公式，先求事件A包含的基本事件个数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件个数n(AB)，得P(B|A).1.某班组织由甲、乙、丙等5名
7、同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()A.BCD答案A解析设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B为“学生丙第一个出场”，则P(A)，P(AB)，则P(B|A).2. (2021吉林省吉林市第三次调研)如图，ABC和DEF是同一圆O的两个内接正三角形，且BCEF.一个质点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF(阴影区域)内”，N表示事件“质点P落在DEF内”，则P(N|M)()A. B. C. D.答案A解析ABC和DEF是同一圆O的两个内接正三角形，设半径OEr
8、，EOF，SOEFr2sinr2，S扇形OEFr2，P(M)，P(MN)，P(N|M).故选A.考向二相互独立事件的概率例2(2020全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率解(1)记事件M：甲连胜四场，则P(M)4.(2)记
9、事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为PP(ABAB)P(ACAC)P(BCBC)P(BABA)44，所以需要进行第五场比赛的概率为P1P.(3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M：甲赢，事件N：丙赢，则事件M的基本事件包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，所以甲赢的概率为P(M)475.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为P(N)12.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从
10、其对立事件入手计算3.(2021江西四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布
11、列解(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)0.35，P(B)0.45，P(C)0.2，所以甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P1P(A)P(A)P(B)P(B)P(C)P(C)0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X2)P(A)P(A)0.350.350.1225，P(X3)P(A)P(B)P(B)P(A)0.350.450.450.350.315，P(X4)P(A)P(C)P(B)P(B)P(C)P(A)0.350.20.450.450.20.350.34
12、25，P(X5)P(B)P(C)P(C)P(B)0.450.20.20.450.18，P(X6)P(C)P(C)0.20.20.04.所以X的分布列为X23456P0.12250.3150.34250.180.04考向三独立重复试验与二项分布例3(2022北京海淀模拟)某单位举办2022年北京冬奥会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“冬奥会会徽”或“吉祥物冰墩墩”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“冰墩墩”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“冰墩墩”卡？
13、主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列解(1)设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，n5，所以“冰墩墩”卡的张数为4，故抽奖者获奖的概率为.(2)由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即B，的可能取值为0,1,2,3,4.P(0)C04，P(1)C13，P(2)C22，P(3)C31，P(4)C40，的分布列为01234P求解独立重复试验的概率时应注意的问题(1)概率模型是否满足公式Pn(k)Cpk(1p)nk的三个条件：在一次试验中某事件A发生的概
14、率是一个常数p；n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样4.(2021合肥模拟)师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数(1)若幸福度不低于
15、9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求的分布列解(1)设事件Ai(i0,1,2,3)表示所选取3人中有i人的幸福度是“极幸福”，至多有1人的幸福度是“极幸福”记为事件A，结合茎叶图得P(A)P(A0)P(A1).(2)的可能取值为0,1,2,3，由样本估计总体得任选1人，其幸福度为“极幸福”的概率为，则P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.所以的分布列为0123P1(2022山西临汾模拟)甲、
16、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.BCD答案D解析根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获一等奖、乙没获一等奖或甲没获一等奖、乙获一等奖，则所求概率是.故选D.2甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A.BCD答案A解析第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为PC2.3某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病
17、且血检呈阳性的概率为()A0.495% B.0.9405%C.0.9995% D.0.99%答案A解析设事件A表示“患某种疾病”，事件B表示“血检呈阳性”，则P(A)0.5%，P(B|A)99%，患该种疾病且血检呈阳性的概率为P(AB)0.5%99%0.495%.故选A.4从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B表示“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A.BCD答案B解析P(A)，P(B)，又AB，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).5将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用
18、计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为()111001011010000111111111101010000101011010001011100101001011A.，B，C.，D，答案B解析由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率pC2，由题中数据可得，“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况有011,101,101,011,011,101,011，共7组，所以f.故选B.6(2021湖南长沙一中模拟一)形状如图所示的两个游戏盘中(图1是半径为2和4的
19、两个同心圆，O为圆心；图2是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动两个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是()A.BCD答案A解析一局游戏后，这两个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1，A2，由题意知A1，A2相互独立，且P(A1)，P(A2)，所以“一局游戏后，这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).故选A.7(2021吉林辽源月考)小红的妈妈为小红煮了7个汤圆，其中3个黑芝麻馅，4个五仁馅，小红随机取出两个，事件A表示“取到的两个是同一种馅”，事件B表示“取到的两个都是黑芝麻馅”，
20、则P(B|A)()A.BCD答案B解析由题意，得P(A)，P(AB)，P(B|A).故选B.8. (2022甘肃兰州一中测试)兰州市某公交线路在某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点Ai(i1,2,3)下车是等可能的则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A.BCD答案A解析设事件A为“甲、乙两人不在同一站点下车”，则事件为“甲、乙两人在同一站点下车”因为甲、乙两人同在A1站点下车的概率为，甲、乙两人同在A2站点下车的概率为，甲、乙两人同在A3站点下车的概率为，所以甲、乙两人在同一站点下车的概率为3，则P(A)1
21、.故选A.9(2021新高考卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立答案B解析设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则P(A)P(B)，P(C)，P(D).对于A，甲、丙同时发生的概率P(AC)0；对于B，甲、丁同时发生的概率P(AD)；对于C，乙、丙同时发生的概率P(BC)
22、；对于D，丙、丁同时发生的概率P(CD)0.若两事件X，Y相互独立，则P(XY)P(X)P(Y)，因此B正确10甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则P(A|B)()A.BCD答案D解析由题意，得P(B)，P(AB)，P(A|B).故选D.11(2021四川绵阳期末)某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品、
23、1个次品”的结果恰好发生3次的概率是()A.BCD答案B解析从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回取出的3个电子元件中有2个正品、1个次品的概率p，重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品、1个次品”的结果恰好发生3次的概率为C33.故选B.12(2021安徽合肥第二次教学质量检测)某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分某同学投篮命中的概率为，则该同学投篮比赛得3分
24、的概率为()A. B. C. D.答案C解析该同学投篮比赛得3分的情况：第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，概率为P1；第一、二次连续两次投中，其他三次都没有投中，概率为P223；第二、三次连续两次投中，其他三次都没有投中，概率为P323；第三、四次连续两次投中，其他三次都没有投中，概率为P423；第四、五次连续两次投中，其他三次都没有投中，概率为P523.该同学投篮比赛得3分的概率为PP1P2P3P4P5.故选C.13某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包，现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾
25、客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10X15)_.答案0.4992解析由题意，得P(10X15)P(X10)P(X15)C0.420.62C0.430.60.4992.14(2021安徽六校教育研究会高三联考)A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是(个人不投自己的票)，则仅A一人是最高得票者的概率为_答案解析若仅A一人是最高得票者，则A的票数为3,2.若A的票数为3，则P1；若A的票数为2，则B，C，D三人中有两人投给A，剩下的一人与A不能投同一个人，P2C.所以仅A一人是最高得票者的概率为PP1P2.15夏秋两季，生活在长江口外浅海
26、域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_答案解析设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)0.15，P(AB)0.05，所以P(B|A).16(2021浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6
27、个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是_答案解析由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C15种结果，两个球的号码之积是4的倍数的结果为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,5)，(4,6)，所以摸一次中奖的概率是，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖的概率是，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C3.17(2021河北正定模拟)某中学根据20062020年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与
28、否相互独立.2021年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且mn.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列解(1)依题意，得解得(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X
29、4)；P(X5)；P(X6).X的分布列为X0123456P18(2021湖北部分重点中学模拟)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标wxyz的值评定学生的数学核心素养，若w7，则数学核心素养为一级；若5w6，则数学核心素养为二级；若3w4，则数学核心素养为三级为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：学生编号A1A2A3A4A5(x，y，z)(2,2,3)(3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)学生编号A6A7A8A9A10(x，y，
30、z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)(1)从这10名学生中任取2人，求这2人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列解(1)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10x2331222222y2232332312z3332232312w7895786846记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B，则P(B|A).(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A1，A2，A3，A5，A6，A8，非一级的学生为余下4人
31、，X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).随机变量X的分布列为X0123P19(2022陕西铜川模拟)随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车为了研究广大市民共享单车的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户(1)求抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率；(2)为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列解在该市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为，女“骑行达人”的概率为.(1)抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为P144.(2)记抽出的女“骑行达人”人数为Y，则X500Y.由题意，得YB，P(Yi)Ci4i(i0,1,2,3,4)Y的分布列为Y01234PX的分布列为X0500100015002000P