1、2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（1） 姓名_一、 填空题1、 已知函数 ，则_.2、 A,B两点分别在抛物线和上，则的取值范围是_.3、 若，则的最大值为_.4、 已知ABC等腰直角三角形，其中C为直角，AC=BC=1，过点B作平面ABC的垂线DB，使得DB=1，在DA、DC上分别取点E、F，则BEF周长的最小值为_.5、 已知函数，对任意的，恒成立，则正实数x的取值范围为_.6、 已知向量满足，且，若为的夹角，则的值为_.7、 现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为_.8、 将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，
2、无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为_.二、 解答题9. (本小题满分14分)在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，向量，向量，且满足.()求ABC的内角C的值；()若c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sinC，求ABC的面积.10. （本小题满分14分）已知数列满足：.(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式;(2)若，且数列的前n项和为，求证：.11. (本小题满分14分)设.（e是自然对数的底数）()若对一切恒成立，求a的取值范围；()求证：.12. (本小题满分15分)设正数x,y满足，求使恒成立的实数的最大值.13. (本小题满分15分)已知椭
3、圆及点，过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B两点分别作C的切线交于点Q.(1) 求点Q的轨迹方程；(2) 求ABQ的面积的最小值.数学竞赛模拟试卷（1）答案1. 【解析】.2. 【解析】由于，则只需要考虑的范围.故的取值范围为.3. 【解析】4. 【解析】由题意可知， ，且BDA与CDA之和为.如图，将侧面BDA和侧面CDB分别折起至面和，且与侧面ADC位于同一个平面上.则BEF周长的最小值即面上两点之间的线段长.由前面的分析可知，由余弦定理可得，所以，BEF周长的最小值为.5. 【解析】为奇函数且为增函数等价于即即对任意的成立即，所以，即0x0.所以h(x)在上单调递增，h(x)在(-1,0)单调递减.所以，由此得：.又x=-1时，即为，此时a取任意值都成立.综上得：.8分().由()知，当a=1时对一切恒成立，即(x=0时取等号).取，得.即证得：.14分12【解析】由正数x,y满足，知.令.不等式等价于，等价于 ，等价于 等价于 .因为，等号仅当，即时成立，所以，实数的最大值为.15分13. 【解析】(1)设，则过Q，有；，有，故直线过点，则有故Q的轨迹方程为 x+y=2.5分(2) 对直线AB，当斜率不存在时，即为x=1，此时 斜率存在时，设直线.联立，消掉y得.于是有又-，得到与式联立，可解得.10分
