1、第9讲函数模型及其应用1常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)2指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢介于指数增长和对数增长之间图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴
2、平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0，所以t1在区间(0，4上是增函数，所以当x4时，t1取得最大值，为5，即当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500%.考向三构建函数模型解决实际问题例3为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示
3、出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3，x为整数，3x6.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数得6x20.故y(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185，对于y3x268x1153(6185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多构建数学模型一定要过好的三关(1)
4、事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型3.(2021山东实验中学模拟)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大
5、收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0).(2)设投资股票类产品为x万元，则投资债券类产品为(20x)万元.依题意得yf(20x)g(x)(0x20).所以 2，即x4时，收益最大，ymax3万元故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元1某物体一天中的温度T(单位：)是时间t(单位：h)的函数：T(t)t33t60，当t0时表示中午12时，其后t取正值，则上午8时的温度是()A8 B112 C58 D18 答案A解析由题意得上
6、午8时t4，因此T(4)33(4)608，故选A.2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()答案C解析出发时距学校最远，先排除A；中途交通堵塞停留，距离没变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.3(2021陕西铜川一中期中)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100答案C解析根据函数
7、模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.4(2021四川泸州三诊)在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数一般地，V和K满足一个线性关系，即Vv0(其中v0，k0是正数)，则以下说法正确的是()A随着车流密度增大，车流速度增大B随着车流密度增大，交通流量增大C随着车流密度增大，交通流量先减小、后增大D随着车流密度增大，交通流量先增大、后减小答案D解析因为Vv0(其中v0，k0是正数)，
8、则随着车流密度增大，车流速度减小，由题意可知QVKv0KK2v0K，所以Q是关于K的二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线K，所以随着车流密度增大，交通流量先增大、后减小，故A，B，C错误，D正确故选D.5某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况为(不考虑其他费用)()A略有盈利B略有亏损C没有盈利也没有亏损D无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购进这只股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.
9、9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这只股票略有亏损6(2022陕西咸阳入学考试)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处答案A解析设仓库建在离车站x千米处，则y1，y2k2x，根据给出的初始数据可得k120，k20.8，两项费用之和为y0.8x8，当且仅当x5时，等号成立7(2021江西九所重点中学高三3月联考)中国的5G技术领先世界，5G技术
10、的数学原理之一便是著名的香农公式：CWlog2.它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升到8000，则C大约增加了(附：lg 20.3010)()A10% B20% C30% D50%答案C解析当1000时，C1Wlog21000，当8000时，C2Wlog28000，1.3，C大约增加了30%.故选C.8(2020新高考卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传
11、染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2天 B1.8天 C2.5天 D3.5天答案B解析因为R03.28，T6，R01rT，所以r0.38，所以I(t)erte0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(tt1)2e0.38t，所以e0.38
12、t12，所以0.38t1ln 2，所以t11.8天故选B.9国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A3000元 B3800元C3818元 D5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式y显然由0.14(x800)420，可得x3800.10.(2021遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0a12).不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设
13、此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数uf(a)(单位：m2)的图象大致是()答案B解析设AD的长为x m，则CD的长为(16x)m，则矩形ABCD的面积为x(16x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以ax12.当0a5时，函数的解析式为y80b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得解得a5，b20，故函数的解析式为y8020，t5.令y40，解得t25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.12某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份两食堂
14、的营业额又相等，则本年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额为y1m4a，乙食堂的营业额为y2m(1x)4，因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高13(2021银川模拟)大气温度y()随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变设地面气温为22 ，大约每上升1 k
15、m大气温度降低6 ，则y关于x的函数关系式为 答案y解析由题意，知y关于x为分段函数，x11为分界点，易得其解析式为y14某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元销售额x为64万元时，奖励4万元若公司拟定的奖励模型为yalog4xb.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为 万元答案1024解析依题意，得即解得a2，b2.所以y2log4x2，当y8时，即2log4x28.解得x1024(万元).15将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，则n的值为 ；若再
16、过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为 答案ln 5解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln ；由nln ，得f(t)a，设k min后甲桶中的水只有 L，则f(k)a，解得k10，mk55(min).16(2022黑龙江省绥化市第七中学模拟)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y1(x0).已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完若每件甲产品售价(元)定为“年平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“平均每件甲产品所
17、占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为 万元答案31.5解析由题意，产品的生产成本为(30y4)万元，销售单价为150%50%，故年销售收入为zy45y6x.所以年利润Wz(30y4)x15y217(万元).所以当广告费为1万元，即x1时，该企业甲产品的年利润为1731.5(万元).17已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：m2t21t(t0，并且m0).(1)如果m2，求经过多少分钟，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx1，则x，即2x25x2
18、0，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立，亦即m2t2m2恒成立令y，则0y1，不等式化为m2(yy2)，由于yy2，所以m.18(2021河北省张家口第二中学模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入
19、为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元).(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解(1)由题意知甲大棚的投入为50万元，则乙大棚的投入为150万元，所以f(50)804150120277.5(万元).(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180).令t，则t，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚的投入为128万元，乙大棚的投入为72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元19(202
20、2上海黄浦区模拟)第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集这届进博会亮点纷呈一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供采购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本为30万美元，每生产一台需另投入90美元设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)(1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润销售收入成本)(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润解(1)当020时，SxG(x)(90x30)10x30.故函数解析式为S(2)当020时，S10x3010x297010(x1)2980229802380.当且仅当10(x1)，即x29时等号成立因为23801770，所以x29时，S的最大值为2380万美元.答：当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2380万美元