1、课时作业梯级练十五导数与函数的极值、最值 一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列结论错误的是()A.函数的极大值一定比极小值大B.导数等于0的点不一定是函数的极值点C.若x0是函数y=f(x)的极值点,则一定有f(x0)=0D.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值【解析】选A.对于A,如图,在x1处的极大值比在x2处的极小值小.所以A符合题意.对于B,如y=x3在x=0处,导数为0,但不是极值点,不符合题意.对于C,由极值点定义知显然正确,不符合题意.对于D,如图知正确,不符合题意.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图,则下列结论
2、正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间(a,+)上是增函数.3.函数f(x)=(1-x)ex有()A.最大值1 B.最小值1C.最大值e D.最小值e【解析】选A.f(x)=-ex+(1-x)ex=-xex,当x0,当x0时,f(x)0,所以f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,所以f(x)有最大值为f(0)=1.4.(2020湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本
3、是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=- x3+ ax2+ x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=- x3+ ax2+ x-1- x=- x3+ ax2-1,当x=2时,g(2)=- 23+ a22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=- x3+ x2-1,g(x)=- x2+ x=- x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所
4、以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.(2021丽江模拟)设函数f =x2+mln 有两个极值点,则实数m的取值范围是()A. B. C. D. 【解析】选B.f 的定义域为 .f = ,令其分子为g =2x2+2x+m ,在区间 上有两个零点,故 解得m .二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)= x3-4x+ 的极大值是,极小值是.【解析】f(x)=x2-4,令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此,当x=-2时
5、,f(x)有极大值f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.答案: -5【加练备选拔高】已知函数f(x)= x3+x2-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为.【解析】f(x)=x2+2x-2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f(x)在(1,2)上是单调递增函数,因此 解得 a4,故实数a的取值范围为 .答案: 7.(2021郑州模拟)已知函数f(x)=axcos x+ 在区间 上有最大值 ,则实数a=.【解析】因为f(x)=axcos x+ f(x)=a(cos x-xsin x),因为x cos x-xsin x0,所以当a0
6、f(x)为增函数f(x)max=f()= a=- ,当a0时,f(x) ,则当x 时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.当a ,则当x(0,2)时,x-20,ax-1 x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是 .答案: 【加练备选拔高】可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关,如果函数的导函数在某个区间上单调递增,那么在这个区间上函数是向下凹的,反之则是向上凸的,曲线上凹凸性的分界点称为曲线的拐点,则函数f(x)= -x2+1的极大值点为,拐点为.【解析】由题意可知f(x)=x2-2x=x(x-2),故函数f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
7、在(2,+)上单调递增,故其极大值在x=0处取到,所以f(x)的极大值点为x=0,极大值为1,又拐点是二阶导数也等于零的点,即f(x)=2x-2=2(x-1)=0,所以x=1,f(1)=1-2=-1,拐点为(1,-1).答案:x=0(1,-1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-5)2,其中2x5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最
8、大.【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,所以 +10=10.5,所以a=1.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-5)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-2) =1+10(x-2)(x-5)2,2x0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间-5,+)上的最大值.【解析】(1)f(x)= = .令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex0,所以y=f(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f(x)与g(x)符号相同.又因为a0.所以当
9、-3x0,即f(x)0,当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5. 1.(5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在
10、x=2处取得极小值.2.(5分)用长为30 m的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 m),要求长方体的长与宽之比为32,则该长方体最大体积是()A.24 m3B.15 m3C.12 m3D.6 m3【解析】选B.设该长方体的宽是x m,由题意知,其长是 m,高是 = m(0x3),则该长方体的体积V(x)= x =- x3+ x2,V(x)=- x2+ x,由V(x)=0,得到x=2(x=0舍去),且当0x0;当2x3时, V(x)0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V(2)=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 m3.3.(5分)若
11、函数f(x)的导数f(x)= (x-k)k,k1,kZ,已知x=k是函数f(x)的极大值点,则k=.【解析】因为函数的导数为f(x)= (x-k)k,k1,kZ,所以若k是偶数,则x=k不是极值点,则k是奇数,若k0,解得x 或xk;由f(x)0,解得kx ,由f(x)0,解得xk或x ;由f(x)0,解得 x0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2)处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由已知得x0,f(x)=x-(a+1)+ ,y=f(x)在(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)=1,即
12、2-(a+1)+ =1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故所求的切线方程为y=x-2.(2)f(x)=x-(a+1)+ = = .当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=- a2+aln a,极小值是f(1)=- .当a=1时,f(x)= 0,所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值.当a1时,若x(0,1),f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大
13、值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=- ,极小值是f(a)=- a2+aln a.综上,当0a1时,f(x)的极大值是- ,极小值是- a2+aln a.5.(10分)已知函数f(x)=ex-ax,a0.(1)记f(x)的极小值为g(a),求g(a)的最大值;(2)若对任意实数x,恒有f(x)0,求f(a)的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域是(-,+),f(x)=ex-a.令f(x)=0,得x=ln a,易知当x(ln a,+)时,f(x)0,当x(-,ln a)时,f(x)0,所以函数f(x)在x=ln a处取极小值,g(a)=f(x)极小值=f(l
14、n a)=eln a-aln a=a-aln a.g(a)=1-(1+ln a)=-ln a,当0a0,g(a)在(0,1)上单调递增;当a1时,g(a)0)恒成立.当x0时,由f(x)0,即ex-ax0,得a .令h(x)= ,x(0,+),则h(x)= = ,当0x1时,h(x)1时,h(x)0,故h(x)的最小值为h(1)=e,所以ae,故实数a的取值范围是(0,e.f(a)=ea-a2,a(0,e,f(a)=ea-2a,易知ea-2a0对a(0,e恒成立,故f(a)在(0,e上单调递增,所以f(0)=10恒成立,即ax+ 对x(0,+)恒成立,所以x+ 2,当且仅当x=1时取等号,所以
15、a2.(2)由(1)知x1,x2是x2-ax+1=0的两个根,从而x1+x2=a,x1x2=1,不妨设x1x2,则t= = = ,0t1,由已知 a ,所以t为关于a的减函数,所以 t , =- -1+a =-2+(x1+x2) =-2+ ln t.令h(t)=-2+ ln t,则h(t)= .因为当a=2时,f(x)= -x+2ln x在(0,+)上为减函数,所以当tf(1)=0,从而h(t)0,则当x(-,0) 时,f(x)0;当x 时,f(x)0.故f(x)在(-,0), 上单调递增,在 上单调递减;若a=0,f(x)在(-,+)上单调递增;若a0;当x 时,f(x)0.故f(x)在 ,
16、(0,+)上单调递增,在 上单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.当a0时,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.当a3时,由(1)知,f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.当0a3时,由(1)知,f(x)在0,1上的最小值为f =- +b,最大值为b或2-a+b.若- +b=-1,b=1,
17、则a=3 ,与0a3矛盾.若- +b=-1,2-a+b=1,则a=3 或a=-3 或a=0,与0a3矛盾.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在区间0,1上的最小值为-1,最大值为1.【加练备选拔高】设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数.(1)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值;(2)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M .【解析】(1)因为ab,b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f(
18、x)=3(x-b) .令f(x)=0,得x=b或x= .令f(x)=0,得x=a或x=b.因为a,b, 都在集合-3,1,3中,且ab,所以 =1,a=3,b=-3.此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化如表:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(2)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00
19、,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f(x)=0,得x1= ,x2= .当x变化时,f(x),f(x)变化如表:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M=f(x1).因为0b1,所以x1(0,1).当x(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x(0,1),则g(x)=3 (x-1).令g(x)=0,得x= .当x变化时,g(x),g(x)变化如表:x g(x)+0-g(x)极大值所以当x= 时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g = .所以当x(0,1)时,f(x)g(x) .因此M .