1、陕西省宝鸡市金台区2021届高三数学上学期11月教学质量检测试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】分别求出集合和集合，再根据补集的运算即可求出.【详解】解：根据题意，则，则集合中元素中有1个元素.故选：A.2. 若为第三象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再判断
2、每个选项的正误.【详解】因为为第三象限角，所以，可得 ，所以是第第一，二象限角，所以，不确定，故选：C【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.3. 饕餮(to ti)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【
3、详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这种，所以次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为.故选：D.【点睛】本题考查数学文化与古典概型，考查计算能力，属于基础题.4. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为，化为十进制数为.故选：B.【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.5. 设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离（ ）A. 4B. C. 8D. 【答案】B【解析】【分析】由题设出两圆方程，可得，即可求出圆心距.【详解】解析：依题意设两圆方程分别为，分别将代入得，所以，圆心距.故选：B.6. 已知等比数列中，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题首先可设公比
5、为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.7. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果.【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱，当选A时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD均可能，故选：A【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换
6、，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.8. 若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数在的切线斜率,继而得出的关系求解离心率即可.【详解】由题可知,切点为原点.又的导函数,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题.9. 设函数，则是( )A. 奇函数，且在（0,1）上是增函数B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】试题分析：
7、由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，则，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.10. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上若球的体积为，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
8、】设截面ABC外接圆的半径为，利用正三角形的性质求得r，设球的半径为，由球的体积为，求得R，然后再利用球的截面形性质，由求得球心截面ABC的距离即三棱锥的高，再代入三棱锥的体积公式求解.【详解】设截面ABC外接圆的半径为，则，设球的半径为，因为球的体积为，所以 ，解得，则球心截面ABC的距离为，即三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为，故选：B11. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，则是上的减函数，又等价于，而，.故选：D.【点睛】
9、本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.12. 十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（ ）参考数据：，A. 3B. 4C
10、. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不等式解之可得【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；第次操作去掉个长度为的区间，长度和为.于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，即，解得：，又为整数，所以的最小值为4.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，夹角为，为单位向量，且，则_【答案】1【解析】【分析】由平面向量垂直的
11、性质及数量积的运算可得，即可得解.【详解】因为，为单位向量，所以，又，向量，夹角为，所以，所以故答案为：1.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为_.【答案】48【解析】【分析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，依次分析四个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D， 对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法， 对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方
12、法， 对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法， 对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法， 则不同的涂色方法有种.故答案为：48【点睛】本题考查排列知识的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题15. 复数在复平面内对应的点在第四象限，且，则_.【答案】【解析】【分析】设出，由题列出方程即可求解.【详解】解析：设，依题意，即，解得，所以.故答案为：.16. 已知下列命题：若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内.：若三条直线，互相平行且分别交直线于，三点，则这四条直线共面.：若直线与平面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线.：如果两条异面直线中的一条
13、与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.则下述命题中所有真命题的序号是_ 【答案】【解析】【分析】根据空间基本图形的公理、异面直线的概念及空间中点、线、面的位置关系判断所给四个命题的真假，然后判断与逻辑连接词有关的复合命题的真假.【详解】对于，利用公理1可知，当一条线上有两个点在一个平面内时，则这条线在这个平面内，故正确；对于，由公理2可知，通过一组相交线或一组平行线有且仅有一个平面，所以为真命题；对于，假设直线与平面相交于点，则直线与平面内不过点的直线为异面直线，故为假命题；对于，当两条异面直线中的一条与一个平面平行时，另一条直线与这个平面有可能平行也有可能相交，故为假命题；所以为假，
14、为真，为假，为真故答案为： .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 的内角，对应边分别为，且（1）求的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用余弦定理化简得，再结合余弦定理，即可求解；（2）由（1）和为锐角三角形，求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为，由余弦定理，可得， 整理得，又由，因为，所以.（2）因为为锐角三角形，可得， 因为，所以，可得， 又由，
15、因为，可得，所以的取值范围为.【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，结合正、余弦定理求解.18. 某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取3
16、0个作为样本区，调查得到样本数据（，2，30），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求方案二抽取的样本（，2，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.附：相关系数，；相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强.【答案】（1）12000；（2），方案二的分层抽样方法更能准确的估计.【解析】【分析】（1）先由题中条件，得到样区野生动物平均数，进而可得出结果；（2）根据题中数据，直接计算相关系数；根据两种
17、方案对应的相关系数的值，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得，样区野生动物平均数为，又地块数为300，所以该地区这种野生动物的估计值为；（2）由题中数据可得，样本（，2，30）的相关系数为.因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为，所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计.【点睛】本题主要考查由样本均值估计总体的数量，考查相关系数的计算，属于基础题.19. 已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题可得，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；（2）设，的坐标为，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立
18、方程，即可求出k值.【详解】（1）解：由题意得，所以，又点在上，所以，联立，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，的坐标为，依题意得，联立方程组消去，得.，所以.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.20. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，是棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）由线面角的向量求法即可求得.【详解】解：（1）点是棱的中点，又，故在中，由题可知，则，所以， 因为四棱柱是直四棱柱，故，、平面，平面，平面，所以平面平面；
19、（2）平面 ， 又平面，故、两两垂直，以、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为， ， 所以， 设平面的法向量为，则，即，则， 所以.，故，所以直线与平面的夹角，故，直线与平面所成角的正弦值为 .【点睛】思路点睛：解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错；（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量；（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，且，都有，求实数的取值范围.【
20、答案】（1）在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，即可得出单调性；（2）由题可得，构造函数，则可得在上恒成立，即在上恒成立，求出最大值即可得出.【详解】解：（1）由题意知 （）， 因为， ，所以， 所以在上单调递增. （2）不妨设，则，由（1）知， 所以，即，设，易知在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，易知在上单调递增，则其最大值为.因为，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性不等式等问题，其中重点考查双变量不等式恒成立问题中的构造函数，将不等式转化为在上单调递减，即在上恒成立是解题的关键.（二）选考题：共1
21、0分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由得：，又整
22、理可得的直角坐标方程为：又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：则上的点到直线的距离当时，取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数（1）画出的图象；（2）求不等式的解集【答案】（1）图象见解析；（2）【解析】【分析】（1）去绝对值，将写成分段函数的形式，画出函数的图象即可；（2）利用图象平移得到的图象，求出两图象的交点，结合图象即可得结果.【详解】解：（1）由题设知，的图象如图所示（2）函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象当时，由，得，故图象与的图象的交点坐标为由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方，故不等式的解集为【点睛】关键点点睛：（1）利用“零点分段法”将函数写成分段函数的形式；（2）得到的图象，利用数形结合思想解不等式.