1、2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020安徽庐巢六校联盟高二月考)若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为()A.-25,-65B.25,65C.25,-65D.-25,65解析由题意得2a-(a+1)=0,解得a=1.联立2x+y-2=0,x-2y+2=0,解得x=25,y=65.所以这两条直线的交点坐标为25,65.故选B.答案B2.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为()A.x+2y-4=0B.x-2y=0C.2x-y-3=0D.2x-y+
2、3=0解析根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为-10-24-0=2,且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1),故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.答案C3.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,由x+2y=0,6-3x=0得x=2,y=-1.故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1),又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.答案D4.直线l被两条直线l1:4
3、x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为.解析设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件,得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0).联立4x0+y0+3=0,3(-2-x0)-5(4-y0)-5=0,即4x0+y0+3=0,3x0-5y0+31=0,解得x0=-2,y0=5,即A(-2,5).所以直线l的方程为y-25-2=x-(-1)-2-(-1),即3x+y+1=0.答案3x+y+1=05.直线l1:2x-by-6=0与直线l2:x+y+a=0的交点为(2,2),则a+b=.解析由于(2,2)为两直线
4、的交点,所以代入直线方程,可得22-2b-6=0,2+2+a=0,解得b=-1,a=-4,故a+b=-5.答案-56.直线l经过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.解(方法1)由x-2y+4=0,x+y-2=0得x=0,y=2,交点坐标为(0,2).又直线l与直线x+3y+5=0垂直,直线l的斜率为3,直线l的方程为y-2=3x,即3x-y+2=0.(方法2)设直线l方程为(x-2y+4)+(x+y-2)=0,即(+1)x+(-2)y+(4-2)=0,因为l与x+3y+5=0垂直,所以1(+1)+3(-2)=0,解得=54,代回方程并化
5、简,得l的方程为3x-y+2=0.关键能力提升练7.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m=()A.-12B.12C.-2D.2解析由2x+3y+7=0,x-y+1=0,得x=-2,y=-1,即交点为(-2,-1),代入直线方程x+my=0,解得m=-2.答案C8.(2020四川遂宁高二期末)若直线l1:y=kx-k+1与直线l2关于点(3,3)对称,则直线l2一定过定点()A.(3,1)B.(2,1)C.(5,5)D.(0,1)解析y=kx-k+1=k(x-1)+1,直线l1:y=kx-k+1过定点(1,1).设定点(1,1)关于点(3,3)对称的点的坐标为(
6、x,y),则1+x2=3,1+y2=3,解得x=5,y=5,即直线l2恒过定点(5,5).故选C.答案C9.若直线l:y=kx-3与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.060B.3060C.3090D.600,3k-31+k0,解得k33,即tan33,是锐角,故3090,故选C.答案C10.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是()A.a=1,或a=-2B.a1C.a1,且a-2D.a1,且a-2解析为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.若l1l2,则由aa-11
7、=0,得a=1.若l2l3,则由11-a1=0,得a=1.若l1l3,则由a1-11=0,得a=1.当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行.若三条直线交于一点,由x+ay+1=0,x+y+a=0,解得x=-a-1,y=1,将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,解得a=1(舍去)或a=-2.所以要使三条直线能构成三角形,需a1,且a-2.答案D11.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点.解析由3a-4b=1,得b=3a-14,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令4x+3y=0,y+8=0,解得x=6,y=-
8、8.故该直线恒过定点(6,-8).答案(6,-8)12.(2020福建永春一中高一期末)已知点A(1,3),B(4,2),若直线ax-y-2a=0与线段AB有公共点,则实数a的取值范围是.解析ax-y-2a=0可化为(x-2)a-y=0,故直线ax-y-2a=0恒过定点(2,0).画出图形,如图所示,直线ax-y-2a=0可化为y=ax-2a,当直线过点A(1,3)时,a-3-2a=0,解得a=-3;当直线过点B(4,2)时,4a-2-2a=0,解得a=1.又直线ax-y-2a=0与线段AB有公共点,所以实数a的取值范围是(-,-31,+).答案(-,-31,+)13.在ABC中,BC边上的高
9、所在的直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2).(1)求点A的坐标;(2)求直线BC的方程;(3)求点C的坐标.解(1)直线x-2y+1=0和直线y=0的交点是(-1,0),即点A的坐标为(-1,0).(2)直线x-2y+1=0为BC边上的高,由垂直关系得kBC=-2,所以直线BC的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.(3)角A的平分线所在直线的方程为y=0,A(-1,0),B(1,2),kAC=-kAB=-1,设点C的坐标为(a,b),则ba+1=-1,b-2a-1=-2,解得a=5,b=-6,即点C的坐标为(5,-6).14.
10、已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0,求:(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.解(1)设与直线l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0(c-1),将点A(-2,1)的坐标代入,得-4-3+c=0,解得c=7.所求直线方程是2x-3y+7=0.(2)设线段AB的中点为M.A(-2,1),B(4,3),M(1,2).设直线l1,l2的交点为N,联立2x-3y-1=0,x-y-1=0,解得x=2,y=1,N(2,1).所求直线的方程为y-21-2=x-12-1,即x+
11、y-3=0.学科素养创新练15.在ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),则直线CF的方程为x=0.由直线的截距式方程可得直线AC的方程为xa+yc=1,即cx+ay-ac=0.同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为bc,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=bc(x-a).同理,得直线BE的方程为y=ac(x-b).设直线CF和直线AD交于点O,由y=bc(x-a),x=0,得点O的坐标为0,-abc.又O点坐标也满足直线BE的方程,所以直线BE也过点O.所以AD,BE,CF三线共点.