1、课时作业梯级练二十九平面向量的数量积及应用举例一、选择题(每小题5分，共25分)1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 B C D1【解析】选D.ab12(1)x2x1，所以x1.2(2021十堰模拟)若夹角为的向量a与b满足|b|ab|1，且向量a为非零向量，则|a|()A2cos B2cos Ccos Dcos 【解析】选B.因为|b|ab|1，所以b2a22abb2，a22ab，|a|22|a|b|cos ，因为a为非零向量，所以|a|2|b|cos 2cos .3已知向量a(1，2)，b(2，1)，c(1，)，若(ab)c，则的值为()A3 B C D3【解析】选
2、A.因为ab(3，1)，由(ab)c得(3，1)(1，)0，30，3.4已知非零向量a，b的夹角为60，|a|2，|a2b|2，则|b|等于()A4 B2 C D1【解析】选D.因为|a2b|2，所以|a2b|24，a24ab4b24，442|b|cos 604|b|24，解得|b|1.(|b|0舍去)5已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为()A12 B8 C8 D2【解析】选A.因为|a|cos a，b4，|b|3，所以ab|a|b|cos a，b12.二、填空题(每小题5分，共15分)6已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_【解析】因为a，bb，c
3、a，c120，|a|b|c|1，所以abbcac11cos 120，abbcac.答案：7.已知向量a=(,-6),b=(-1,2),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是.【解析】因为向量a与b的夹角为钝角,所以ab=(,-6)(-1,2)=-12-12.当a与b共线时,设a=kb(k0),可得解得即当=3时,向量a与b共线且反向,此时ab0,但a与b的夹角不是钝角.综上,的取值范围是(-12,3)(3,+).答案:(-12,3)(3,+)8.(2021贵阳模拟)已知ABC外接圆的圆心为O,M为边BC的中点,若AB=3,AC=5,则=.【解析】如图,取AC的中点D,AB的中点E,并连接OD,O
4、E,则ODAC,OEAB,所以=,=,=(+)=.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)9已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|.(2)当k为何值时，(a2b)(k ab).【解析】由已知ab4816.(1)因为|ab|2a22abb2162(16)6448，所以|ab|4.因为|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，所以|4a2b|16.(2)因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，k7，所以当k7时，a2b与kab垂直10在平面直角坐标系x
5、Oy中，点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t满足(t)0，求t的值【解析】(1)由已知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4).所以|2，|4.所以所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)由已知，(2，1)，t(32t，5t).由(t)0得(32t，5t)(2，1)0，所以5t11，所以t.1已知向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为1，则向量a与b的夹角为()A B C D【解析】选A.设向量a与b的夹角为，因为向量a、b为单位向量，ab在a的方向上的投影为1，所以(ab)a|a|，变形得1ab1
6、，即ab11cos cos ，又由0，则，故选A.2已知非零向量a，b满足2，且(ab)b，则a与b的夹角为()A B C D【解析】选B.因为(ab)b，所以(ab)babb20，所以abb2，所以cos ，所以a与b的夹角为.3.(5分)已知菱形ABCD的边长为4,ABC=60,E是BC的中点,=-2,则=()A.24B.-7C.-10D.-12【解析】选D.由已知得=,=,=,所以=+=+,=-=-.因为在菱形ABCD中,ABC=60,所以BAD=120.又因为菱形ABCD的边长为4,所以=|cos 120=44=-8,所以=-|2-+|2=-16-(-8)+16=-12.4(2020郑
7、州模拟)已知向量m(2sin x，cos2xsin2x)，n(cosx，1)，其中0，xR.若函数f(x)mn的最小正周期为.(1)求的值(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求的值【解析】(1)f(x)mn2sin x cos xcos2xsin2xsin2xcos 2x2sin .因为f(x)的最小正周期为，所以T，又0，所以1.(2)由(1)知f(x)2sin .设ABC中角A，B，C所对边分别是a，b，c.因为f(B)2，所以2sin 2，即sin 1，又0B，解得B.因为BC，即a，又sin Bsin A，所以ba，b3.由正弦定理得，解得sin A.又0A，解
8、得A，所以C，ca，所以ca cos Bcos .5在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，| |1，且AOCx，其中O为坐标原点(1)若x，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值(2)若x，向量m，n(1cos x，sin x2cos x)，求mn的最小值及对应的x值【解析】(1)设D(t，0)(0t1)，当x时，可得C，所以，所以|2(0t1)，所以当t时，|2取得最小值为，故|的最小值为.(2)由题意得C(cos x，sin x)，m(cos x1，sin x)，则mn1cos2xsin2x2sinx cos x1cos 2xsin 2x1sin .因为x，所以2x.所以当2x，即x时，mn1sin 取得最小值1，所以mn的最小值为1，此时x.1已知向量| |2，| |4，4，则以，为邻边的平行四边形的面积为()A4 B2 C4 D2【解析】选A.因为有cos AOB，所以sin AOB，所以所求的平行四边形的面积为|sin AOB4.故选A.2已知菱形ABCD的边长为6，ABD30，点E，F分别在边BC，DC上，BC2BE，CDCF.若9，则的值为()A2 B3 C4 D5【解析】选B.依题意得，因此 2 2，于是有6262cos 609，由此解得3.