1、安徽省滁州市定远县重点中学2021届高三数学1月质量检测试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知全集，集合，则A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，则的所有根之和等于A. 4B. 5C. 6D. 123. 已知函数的周期为2，当时，如果，则函数的所有零点之和为 A. 2B. 4C. 6D. 84. 设函数在R上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，若，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 5. 函数的图象的大致形状是 A. B. C. D.
2、 6. 对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”，设是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D. 8. 已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且，则角A，B的大小分别为 A. ，B. ，C. ，D. ，9. 设单位向量对任意实数都有，则向量的夹角为A. B. C. D. 10. 等差数列和的前n项和分别为和，且，则A. B. C. D. 11. 已知命题在区间上存在单调递减区间；命题q：函数，且有三个实根若为真命题，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 12. 已知函数
3、，且在区间，上的最大值为若对任意的，都有成立，则实数t的最大值是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设是定义在R上的偶函数，且，当时，若关于x的方程在区间内恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_14. 若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_15. 已知函数，若，且，则的值为_16. 已知数列，为数列的前n项的和，且对任意，都有，则的通项公式为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求B的大小；若，求18. （12分）已知正项数列的前n项和为，求数列的通项公式；令，数列的前n项
4、和为证明：对于任意的N，都有19. （12分）已知函数在区间上有最小1和最大值9，设求a，b的值若不等式在上有解，求实数k的取值范围20. （12分）已知函数求函数的单调区间和极值；是否存在实数a，使得函数在上的最小值为若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由21. （12分）已知函数，其中，且函数的最小正周期为求的值；求的单调增区间若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围22. （12分）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，万元；当年产量不小于7万件时，万元已知每件
5、产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本流动成本当年产量为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？取答案解析1.C【解析】，或；故选C2.A【解析】解：为奇函数，则，的图象关于直线对称，当时，对称轴，开口向下，有两个小于1的实数根，根据对称性可得两根之和为，由对称性可得，在时的图象的对称轴为，的两根之和为，的所有根之和为故选A3.D【解析】解：由题意可得，根据周期性画出函数的图象以及的图象，根据在上单调递增函数，当时，当时，此时与函数无交点再根据的图象和的图象都关于直线对称，结合图象可知有8个
6、交点，则函数的零点个数为8，故选：D4.C【解析】，构造函数，函数为奇函数，时，函数在上是减函数，从而在上也是减函数，又，函数在R上是减函数，对于任意的实数x，有，等价于，整理得：，等价于，即，又函数在R上是减函数，解得：，故选：C5.D【解析】因为，且，所以根据指数函数的图象和性质，函数为减函数，图象下降；函数是增函数，图象逐渐上升，故选D6.A解：因为是定义在上的“倒戈函数”，所以存在满足，所以，所以，构造函数，令，所以所以故答案为 7.A【解析】，即，故选A8.C【解析】根据题意，可得，即，在中，又由正弦定理可得，故选C9.D【解析】是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，该不等
7、式对任意实数恒成立；又；故选：D10.D【解析】等差数列n和n的前n项和分别为Sn和Tn，故选D11.A【解析】，在上单调递增，在上的最小值为，若在上存在单调减区间，则，即，真时，等价于，真等价于；函数，等价于，令，则，在上，在上，在上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值为，的极小值为，又，当x趋近于时，趋近于，分母是指数增长方式，分子式幂函数增长方式，幂函数的增长在一定的值以后远不如指数的增长快，当x趋近于负无穷时趋近于0，显然当x趋近于时，趋近于，有三个实根，即有三个不等实根，即直线和函数的图象有三个不同的公共点，即q正确等价于，若为真命题，即a的取值范围是，故选A12.A
8、【解析】由，可知为函数图象对称轴，即，解得因为，则，又，则，根据题意在区间，上的最大值为，故有，即，若对任意的，都有成立，即则，当时，由正弦函数图象可得必须，解得故实数t的最大值是故选A13.【解析】对于任意的，都有，函数是一个周期函数，且又当时，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于x的方程恰有5个不同的实数解，则函数与在区间上有五个不同的交点，如下图所示：又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得：的范围是故答案为：14.【解析】解：当时，单调递增，由零点存在定理，可得在有且只有一个零点；则由题意可得时，有且只有一个零点，即有有且只有一个实根令，当时，递减；当时，递增
9、即有处取得极大值，也为最大值，且为，如图的图象，当直线与的图象只有一个交点时，则故答案为15.【解析】，又，故答案是16.解：数列，为数列的前n项的和，且对任意，都有，则，整理得常数，又，故数列是以为首项，为公差的等差数列则，故当时，首项不符合通项，故故答案为：17.由正弦定理得，即，为三角形的内角，为三角形的内角，；由余弦定理得，得，因为，18.解：当时，两式相减得，从而数列是以2为公差的等差数列，又，得，从而证明：由得，所以，又，从而对于任意N，都有19.解：函数则对称轴，故函数在上为单调增函数，所以当时，当时，解之得故a的值为1，b的值为由得，因为不等式在上有解，所以在上有解，设，所以在
10、上有解，即设，对称轴，则当时，所以实数k的取值范围是20.解：由题意知，由得，解得，所以函数的单调增区间是；由得，解得，所以函数的单调减区间是所以当时，函数有极小值为，无极大值由可知，当时，单调递减，当时，单调递增，若，即时，函数在上为增函数，故函数的最小值为，显然，故不满足条件若，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，故函数的最小值为，即ln，解得，而，故不满足条件若，即时，函数在上为减函数，故函数的最小值为即，而，故不满足条件综上所述，这样的a不存在21.解：，由，解得：，可得的单调增区间为：，作出函数在上的图象如图：函数有两个零点，即方程有两解，亦即曲线与在上有两个交点，从图象可看出，所以当曲线与在上有两个交点时，则，即实数a的取值范围是22.解：每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元依题意得：当时，当时，当时，当时，取得最大值万元，当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，取得最大值万元，时，取得最大值11，2万元，故当年产量约为16万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元