1、第二章圆锥曲线2双曲线2.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升合格考达标练1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.62,0C.52,0D.(3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x2-y212=1,a2=1,b2=12,c2=a2+b2=32,c=62,故右焦点坐标为62,0.2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23-y22=1C.x2-y24=1D.x22-y23=1答案C解析由题意得|PF1
2、|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,则该双曲线的方程为x2-y24=1.3.已知双曲线x2-3+y22-=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则等于()A.32B.5C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y22-x23-=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-+3-=4,解得=12.4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON,ON是PF1F2的中位线,|ON|=12|PF2|,|PF1|-|PF2|=4,|PF1|=10
3、,|PF2|=14或|PF2|=6,|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B
4、.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上答案D解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,圆P与圆O和圆M都外切,|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=10,b0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1.点P-52,-6在所求双曲线上,代入有(-52)2a2-(-6)225-a2=1,化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254.当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-2540,不合题意,舍去,a2=1,
5、b2=24,所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.等级考提升练10.“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为mn0,所以m,n均不为0且异号,方程mx2+ny2=1,可化为x21m+y21n=1,因为1m与1n异号,所以方程x21m+y21n=1表示双曲线,故“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为x21m+y21n=1,可知1m与1n异号,则必有mn0,故“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件.综上
6、可得,“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x4)C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且61)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2,解得|PF1|=n+2+n,|
7、PF2|=n+2-n,|PF1|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,PF1F2为直角三角形,F1PF2=90,SPF1F2=12|PF1|PF2|=122=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a0)过点15,-63,可得15a2-69=1,解得a=3,b=1,c=10,a+c3,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,
8、则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.答案(2,+)解析由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得x21m-y21m-2=1,即有m0,且m-20,解得m2.16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.答案x216-y29=1解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则由QF1QF2,得kQF1kQF2=-1,5c5-c=-1,c=5,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),双曲线过
9、点(42,-3),32a2-9b2=1.又c2=a2+b2=25,a2=16,b2=9,双曲线的标准方程为x216-y29=1.17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且MF1MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.解(1)如图所示,不妨设点M在双曲线E的右支上,点M到x轴的距离为h,MF1MF2=0,则MF1MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,又m2+n2=(2c)2=80,由得mn=8,12mn=4=12|F1F2|h,h=25
10、5.(2)设所求双曲线C的方程为x216-y24+=1(-416),由于双曲线C过点(32,2),1816-44+=1,解得=4或=-14(舍去),所求双曲线C的方程为x212-y28=1.新情境创新练18.已知OFQ的面积为26,且OFFQ=m,其中O为坐标原点.(1)设6m46,求OF与FQ的夹角的正切值的取值范围;(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为12|OF|FQ|sin(-)=26,|OF|FQ|cos=m,所以tan=46m.又6m46,所以1tan0,b0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1),所以SOFQ=12|OF|y1|=26,则y1=46c.又OFFQ=m,即(c,0)(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c212=23,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ|最小,这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6).因为6a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12.于是所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.
