1、安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三数学下学期5月模拟试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）1.集合，若，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求，再根据得到a的不等式，即得解.【详解】由题得，因为，所以.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.2.已知命题直线与相交但不垂直；命题 ，则下列命题是真命题的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】命题,即直线和直线互相垂直,故命题错误; 命题当时
2、不等式成立,故命题正确;综上可知, 正确,故选A.3.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模【详解】解：即故选C【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题4.某四棱锥的三视图如图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意还原几何体，表示最小面积即可得到a值.【详解】解：该几何体如下图所示，因为，所以，三角形APD的面积最小，即，所以，解得：故选B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断相关几何量的数
3、据是解答问题的关键5.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图形，求得点关于线段的对称点，要使反射光线与圆相切，只需射线与圆相切即可，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】如图，直线，关于对称点，直线的方程为：，直线为：.当圆在直线的上方且圆与直线相切时，有，故；当圆在直线的下方且圆与直线相切时，有，故；结合图象可知：要使反射光线与圆相切，只需.故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，解答本题的关键是通过数形结合，将直线与圆相切转化为圆心到直线
4、的距离等于半径，通过图象判断参数的取值范围.6.若向量与向量共线，则（ ）A. 0B. 4C. D. 【答案】D【解析】因为与向量共线，所以，解得，故选D.7.为比较甲，乙两地某月时的气温，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数；甲地该月时的气温的中位数大于乙地该月时的气温的中位数其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、
5、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、中位数可得答案.【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31，乙：28，29，30，31，32，可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）29，乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）30，故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月时的气温的中位数29，乙地该月14时的气温的中位数30，所以甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数故选A【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于
6、记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况8.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统综中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为A. 2.2升B. 2.3升C. 2.4升D. 2.5升【答案】D【解析】分析】设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数
7、列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积【详解】设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意得，解得a11.6，d0.1，中间两节的容积为：a4+a5（1.60.13）+（1.60.14）2.5（升）故选D【点睛】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用9.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义求出直线的倾斜角，可得直线方程，直线
8、方程与抛物线方程联立求得点坐标，再利用抛物线的定义求解即可.【详解】抛物线的焦点坐标，由抛物线的定义可得等于到准线的距离，因在准线上，所以与准线垂直与轴平行，因为三角形为正三角形，所以可得直线，可得，可得，则，等于到准线的距离，故选B.【点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.10.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
9、析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】取，排除C取，排除BD故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.11.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，图象所对应解析式为：，由关于轴对称，则，可得，又，所以，即，当时，所以，故选A【点睛】本题考查了三角函数图象的对称性、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题
10、，反映学生对所学知识理解的深度.12.已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则是的图象沿着上下平移得到，分析函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可【详解】设，则是的图象沿着上下平移得到，当x=1时，（1）（1），所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1时，g(1)=0,当x=2时，（2），所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），当x=2时，（2），所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,要使方程恰有三个不相等的实数解，则等价为与的图象
11、有三个不同的交点，则满足，即得，即，即实数的取值范围是，故选【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为_【答案】6【解析】【分析】抽到的最大学号为48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号.【详解】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组
12、的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.故答案为6【点睛】本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14.在ABC中，已知C120，sinB2sinA，且ABC的面积为，则AB的长为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，代入三角形的面积公式可求，然后由余弦定理可求【详解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础题15.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为_【答案】18【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入
13、目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18故答案为18【点睛】本题考查简单的线性规划，数形结合的解题思想方法，是中档题16.已知是上的偶函数，且当时，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】对分类，找到的解集，再求的解集【详解】时，当时，解，即得或，或当时，解即得当时，解集为或是上的偶函数，由对称性可知当时，解集为或解集为或或时，或或解得或或【点睛】本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
14、步骤）17.已知等差数列是递增数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若（），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列首项为，公差为，由，得，求出和，即可求出数列的通项公式；（2）由求得，再利用裂项相消法求和即可得到答案.【详解】（1）由题意，设递增的等差数列首项为，公差为， 由，得，解得：，或，（舍去），所以；（2）由（1）知，则，所以 .【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和，考查学生的计算能力，属于中档题.18.今年年初，习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为
15、合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量单位：吨，以，分组的频率分布直方图如图所示（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为，的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，
16、求年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在组的概率【答案】（1）0.0075，230，224；（2）3家，2家，1家；（3）【解析】【分析】由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；根据直方图的性质分别求出年平均销售量为、的频数，利用分层抽样能求出年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取多少家；年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家，基本事件总数，恰有1家在组包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式可得结果【详解】由直方图的性质得：，解方程得，直方图中年平
17、均销售量的众数是，年平均销售量的中位数在内，设中位数为a，则：，解得，年平均销售量的中位数为224年平均销售量为的农贸市场有：，年平均销售量为的农贸市场有：，年平均销售量为的农贸市场有：，抽取比例为：，年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，故年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家由知年平均销售量在，农贸市场中应各抽取3家，2家，1家设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数，恰有1家在组包含的基本事件的个数，恰有1家在组的概率【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求众数、中位
18、数，以及分层抽样、古典概型等基础知识，是中档题直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.19.如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接AC，证得，再由面面垂直的判定定理证明即可；（2）由是上的中点，是的中点，得，计算出三棱锥的体积即可得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连接AC，底面为菱
19、形，是正三角形，是中点，又，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面.（2）是上的中点，且，又是的中点，三棱锥的体积： .【点睛】本题主要考查线面垂直和面面垂直的判定定理和性质，三棱锥的体积公式，考查学生数形结合能力和计算能力，属于基础题.20.已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.（1）求抛物线的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设直线的方程为与抛物线联立，得
20、到横坐标关系,从而得到的关系，找出定点.解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，所以，所以抛物线的方程为；（2）【解法一】因点与点关于轴对称所以设，设直线的方程为，代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，所以，即，所以直线的方程为，必过定点.【解法二】设，因点与点关于轴对称，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，设直线的方程为，代入得：，所以，因为，所以，即，所以直线的方程为，必过定点.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题
21、，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.21.已知.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.【详解】（1）的定义域为，当时，；时，函数在上单调递减；在上单调递增.（2）当时， 由题意，在上恒成立若，当时，显然有恒成立；不符题意.若，记，则,显然在单调递增，（i）当时，当时，时，（ii）当，存在，使.当时，时，在上单调递减；在上单调递增当时，不符合题意综上所述，所求的取值范围是【点睛】本题主要考查导
22、数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：（m为常数）.（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，当|AB|=4时，求实数m的值.【答案】（1）（x1）2+（y+1）2=16，x+y4m=0；（2）.【解析】【分析】（1）由参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化求解即可； （2）
23、由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】解:（1）曲线C的参数方程为（为参数），由,消参数可得:曲线C的普通方程为（x1）2+（y+1）2=16，直线l：，即sin+cos=4m，结合可得: 直线l的直角坐标方程为x+y4m=0；（2）由题意，圆心到直线的距离d2，2，m=.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，重点考查了直线与圆的位置关系，属基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)求出的具体解集，然后根据已知条件，则两个解集的区间端点相等，列方程即可求解；(2)由题知在成立，故，然后根据绝对值三角不等式求出的最小值，进而可求解.【详解】（1）不等式，即，即，求得.再根据不等式的解集为，可得，且，求得. （2）在（1）的条件下，若成立，即成立，故，而，解得：，即的范围为.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题
