1、3.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2019北京,文5)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12解析双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,a2+1a=5,解得a=12,故选D.答案D2.(多选题)下列双曲线中,以2x3y=0为渐近线的是()A.x29-y24=1B.y24-x29=1C.x24-y29=1D.y212-x227=1解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x3y=0,C项中渐近线方程为3x2y=0.答案ABD3.已知双曲线方程为x2-y24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共
2、点,则直线l共有()A.4条B.3条C.2条D.1条解析因为双曲线x2-y24=1的渐近线方程为y=2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.答案B4.(多选题)已知双曲线的方程为y24-x25=1,则下列说法正确的是()A.焦点在y轴上B.渐近线方程为2x5y=0C.虚轴长为4D.离心率为35解析双曲线的方程为y24-x25=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x5y=0;虚轴长为25;离心率为32,判断知AB正确.答案AB5.若实数k满足0k9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的()
3、A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0k0,即曲线x225-y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(34-k,0);25-k0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(34-k,0),故两曲线的焦距相同,故选A.答案A6.已知双曲线y2a2-x2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=abx=34x.答案y=34x7.过双曲线x2-y23=1的左
4、焦点F1,作倾斜角为6的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.解析依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=33(x+2).由y=33(x+2),x2-y23=1,得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+(33)2(x1+x2)2-4x1x2=(1+13)(12)2-4(-138)=3.答案38.双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求AFB的面积.解由题意得,双曲线x29-y216=1的
5、右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=43x.不妨设直线FB的方程为y=43(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=175,y=-3215,所以B175,-3215.所以SAFB=12|AF|yB|=12(c-a)|yB|=12(5-3)3215=3215.9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53;(2)经过点C(-3,2),且与双曲线x28-y216=1有共同的渐近线.解(1)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a2+b2,得
6、a2=9,故方程为y29-x216=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=(0),将点C(-3,2)的坐标代入,得38-216=,解得=14,所以所求双曲线的标准方程为x22-y24=1.关键能力提升练10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若PF1Q=2,则双曲线的离心率等于()A.2-1B.2C.2+1D.2+2解析不妨设双曲线标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=2b2a.因为PF1Q=2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2
7、-2e-1=0,解得e=2+1或e=1-2(舍去),故选C.答案C11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),过原点作一条倾斜角为3的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()A.2+1B.3+1C.2D.5解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2-3a2,y1y2=3x1x2=-3a2b2b2-3a2,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故FP
8、FQ=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得ba4-6ba2-3=0,解得ba2=3+23.故c=1+ba2=4+23=3+1,故选B.答案B12.(2020海南海口海南中学高二上期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1解析双曲线C的一条渐近线方程为y=52x,设双曲线的标准方程为x24-y25=(0),a2=4,b2=5,
9、从而c2=9.又双曲线C与椭圆有公共焦点,c2=9=12-3=9,即=1.因此C的方程为x24-y25=1.故选B.答案B13.(2020重庆一中高二上期中)已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为()A.4x-3y+1=0B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0D.x-y+1=0解析设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,8(x1-x2)-6(y1-y2)=0,即kPQ=43
10、.因此直线PQ的方程为y-3=43(x-2),即4x-3y+1=0.经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.答案A14.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60,则双曲线C的方程可能为()A.x23-y2=1B.x23-y29=1C.y23-x212=1D.y221-x27=1解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30或60,所以双曲线C的渐近线方程为y=33x或y=3x,根据选项检验可知ABD均可能.答案ABD15.(多选题)(2020山东师大附中高二上第五次学分认定考试)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是
11、双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1PF2=0,则下列结论正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.PF1F2的面积为1解析易得双曲线C的渐近线方程为y=x,故A正确;由a=b=1得c=2,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;不妨设F1(-2,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d=|-2-0|2=1,故C正确;由PF1PF2=0得,PF1PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由x2+y2=2,x2-y2=1,得y2=12,|y|=22,因此,SPF1F2=12|F1F2|y|=
12、122222=1,故D正确.故选ACD.答案ACD16.已知l为双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线,其倾斜角为4,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为;C的方程为.解析由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k=ba=tan4=1,解得a=b=2,则双曲线的右顶点为(2,0),C的方程为x22-y22=1.答案(2,0)x22-y22=117.(2020山东潍坊高二上期末)已知F为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是.解析如图所示,过F
13、向另一条渐近线引垂线,垂足为D.由题意得,双曲线的渐近线方程为y=bax,则F(c,0)到渐近线的距离d=|bc|a2+b2=b,即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.OFB为等腰三角形,D为OB的中点,|OB|=2a.ABOA,|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,c=2b.则2a=3c,e=ca=233.答案23318.已知点A(-3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.(1)求点C的轨迹方程;(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.
14、解(1)点A(-3,0)和B(3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.|AB|=232,点C的轨迹方程是以A(-3,0)和B(3,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=3,点C的轨迹方程是x2-y22=1.(2)点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.联立2x2-y2=2,y=x-2,得x2+4x-6=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,|DE|=(1+1)(-4)2-4(-6)=45.故线段DE的长为45.学科素养创新练19.已知点F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2
15、,记点P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程;(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P,Q两点,无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MPMQ恒成立,求实数m的值.解(1)由|PF1|-|PF2|=20,b0.c=2,2a=2,b2=3,故轨迹E的方程为x2-y23=1(x1).(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k2-30,0,x1+x2=4k2k2-30,x1x2=4k2+3k2-30,解得k23.MPMQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=(k2+1)(4k2+3)k2-3-4k2(2k2+m)k2-3+m2+4k2=(m2-4m-5)k2+3(1-m2)k2-3.MPMQ,MPMQ=0,故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k23恒成立,1-m2=0,m2-4m-5=0,解得m=-1.当m=-1时,MPMQ.当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立,综上,当m=-1时,MPMQ.7
