1、理科数学参考答案第 1 页（共 9 页）2021 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C D C D A B B C A【解析】1由题意得|1Ax x，|2Bx x，故(2 1)AB ，故选 B 22212i2i21 i2i2i555z，虚部为15，故选 C 3依题意得1.13.2ab，1.12.2a，解得2a，1b ，故选 A 4取18130ty，故8331log 108log 10t ，即318log 1018117.77lg
2、3t ，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为 17，故选 C 528xy，4p，(0 2)F，设11()P xy，1|82pPFy，16y，(4 3 6)P，设0(2)M x，90PFM，(4 3 4)FP ，0(4)MFx，0FP MF ，04 33x ，4 323M，或4 323M，故选 D 6设 a与 b的夹角为，a在 b的投影为1|cos2a ，120 ，设 ab与 ab的夹角为，|3ab，|7ab，()()cos|abababab 22|217|ababab ，故选 C 72222cosACABACABABC，即222525375ABAB，即24120ABAB，解 得6AB，221si
3、n1cos5AA，所 以1121sin56225ABCSABACA 3 21，故选 D 理科数学参考答案第 2 页（共 9 页）82223642333C C CA90A ，32136313C C C A360，1143654322C C CA90A ，共有 9036090540，故选 A 9如图 1，6SA，2 5AC，4 2SC，3620325cos5262 5SAC，2 5sin5SAC，1sin122SACSSAACSAC，12ABCS 244，4 2SABS，8 2SBCS，表面积为1612 2，故选 B 10由2()f xx，得()2fxx，则(1)2f，又(1)1f，所以函数2()
4、f xx的图象在1x 处的切线为12(1)yx，即21yx 设21yx 与函数e()xg xa的图象相切于点00()xy，由e()xg xa，可得00000e()2e()21xxg xag xxa，解得032x，321e ee22a，23321ee24a，故选 B 11依题意可得双曲线的渐近线方程为12yx，设()P xy，11()A xy，22()B xy，因为2PAPB，所 以 有12122()2()xxxxyyyy ，即12122323xxxyyy，又11221212yxyx，所 以1212122yyxx，所以121223123xxxxxy，因为点 P 在双曲线上，所以212234xx
5、2121213xx，解得129=2x x，故选 C 图 1 理科数学参考答案第 3 页（共 9 页）12对命题 P：设()20201xf x ，则(3)(4)faf，(4)(5)fbf，434(4)(3)202020201(4)20201ffaf 344520192020201920202020120202020，54455(5)(4)20202020201920201(5)2020120201ffbf，552020202020201，11ab，即 ab，故 P 为真命题，命题 Q 为假命题，例如120A ，30B ，可知命题 Q 为假命题，故选 A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5
6、 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案 4 5 4 3 【解析】13画出不等式组表示的可行域，如图 2 中阴影部分所示由2zxy，可得221zyx平移直线221zyx，结合图形可得，当直线221zyx经过可行域内的点 A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值由题意得 A 点坐标为(4 0)，min404z，即2zxy的最小值是 4 14用点到直线的距离公式可得双曲线22221(00)xyabab，中焦点到渐近线的距离为 b 15三棱锥 SABC各条棱都相切的球相当于棱长为 2 3 的正方体的内切球，则3R，所以体积为34 4 33VR 16(2)sin(2)cos
7、(2)2 sin(2)cos(2)sincos2 sin cosf xxxxxxxxx()f x，是 真 命 题；()sin()cos()2 sin()cos()sincosfxxxxxxx 2 sin cosxx，()()0fxf x，是假命题；333sincos222fxxx 332 sincoscossin2 sin cos()22xxxxxxf x，是 真 命 题；令图 2 理科数学参考答案第 4 页（共 9 页）sincostxx，则22(sincos)12sin costxxxx，故2222 sin cos22xxt，故函数可看做222(22)22yttt ，当22t 时，max3
8、 24y，是真命题 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）解：（1）由题意可得2124310439aa，32283188313aa，（2 分）由数列na的前三项可猜想数列na是以 5 为首项，4 为公差的等差数列，即41nan （3 分）证明如下：当1n 时，15a 成立；假设 nk时，41kak 成立，那么1nk 时，12432(41)43454(1)1kkaakkkkk 也成立，则对任意的*nN，都有41nan 成立（6 分）（2）由（1）可知，3(41)3nnnan ，2315 39313 3(43)3(41)3nnnSnn ，234
9、135 39313 3(43)3(41)3nnnSnn ，（8 分）由 得2312154(333)(41)3nnnSn 2111313154(41)3(41)3(313nnnnn ，即1(41)3322nnnS （12 分）理科数学参考答案第 5 页（共 9 页）18（本小题满分 12 分）解：（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 总计 男性 250 400 650 女性 150 400 550 总计 400 800 1200 （2 分）2K 的观测值21200(250400150400)16.783400 800650550k，（4 分）因为16.7836.635，（5 分）所以有
10、99%的把握认为居民对数字人民币的了解程度与性别有关 （6 分）（2）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人，（7 分）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，其中0364310CC(0)CnnP，1264310CC(1)CnnP，2164310CC(2)CnnP，36310C(3)CnnP，（9 分）所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 0364310CCCnn 1264310CCCnn 2164310CCCnn 36310CCnn 03122136666333310101014440CCCCCCC()01232CCCCnnnnnnnnE ，（10 分）
11、1221336464610CC1CC2C32Cnnnn ，理科数学参考答案第 6 页（共 9 页）可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23nnnnnnnnn，23(6)(1772)2(10)(9)(8)nnnnnn，3(6)2(10)nn，解得2n，n 的最小值为 2（12 分）19（本小题满分 12 分）（1）证明：如图 3，连接1B C，在11C CB中，P，F 分别是11B C，1C C 的中点，所以 PF 是11C CB的中位线，则1PFB C 在正方体1111ABCDA B C D中，11DCA B，G，E 分别是11A B，DC 的中点，则1ECG
12、B，1ECGB，所以四边形1GB CE 是平行四边形，则1B CGE，所以 PFGE，所以 PF 平面 GEF （6 分）（2）解：以1D 为原点，建立如图 4 所示空间直角坐标系，(0 1 2)E，(0 2 1)F，(2 1 0)G，(2 0 2)GE ，(0 11)EF，因为(01)AQAB，所以(2 22)Q，(2 120)QE，（7 分）设平面 EFG 的一个法向量为111()mxyz，则00m GEm EF ，即11112200 xzyz，令11x ，则11z ，1y ，所以(1 1 1)m，（8 分）设平面 QEG 的一个法向量为222()nxyz，则00n GEn QE，即222
13、22202(12)0 xzxy，图 3 图 4 理科数学参考答案第 7 页（共 9 页）令212x，则212z，22y，所以(122 12)n，（9 分）因为二面角QEGF的余弦值为33，所以2|44|3|cos|3|342(12)m nm nmn，解得12 或 52(舍去)，（11 分）所以，当二面角QEGF的余弦值为33时，12 （12 分）20（本小题满分 12 分）解：（1）由题意可得32e，221ba ，2a，1b ，C：2214xy （4 分）（2）设11()A xy，22()B xy，0(0)Q x，设直线 l：1xmy，将其代入22440 xy，得22(4)+230mymy，1
14、2224myym，12234y ym，121228()24xxm yym，22121212244()14mx xm y ym yym，（8 分）QA QBt ，则210120212012012()()()txxyxxyx xxxxxy y，22002224483444mxxmmm，（10 分）200217844xxm，理科数学参考答案第 8 页（共 9 页）这是一个与 m 无关的常数，0178x，t 为常数，此时存在定点1708Q，使QA QB 为定值 （12 分）21（本小题满分 12 分）解：（1）因为()lnf xxx，故11()1xfxxx，（1 分）令()0fx，得1x ，令()0f
15、x，得 01x，故()f x 在(0 1)，上单调递减，在(1)，上单调递增，（3 分）故函数()f x 的最小值为(1)1f （4 分）（2）由题意知2lneln0 xxxaa，即2elnlnxaxax，两边同时加上 x，得2e2lnlnxaxaxx，即22eln(e)lnxxaaxx，（7 分）设()ln(0)h xxx x，则1()10h xx，故()h x 在(0)，上单调递增，22eln(e)lnxxaaxx恒成立，即2(e)()xh ah x恒成立，（9 分）即2e xax在(0)，上恒成立，即2e xxa在(0)，上恒成立，设2()(0)e xxxx，则212()e xxx，则当
16、102x时，()0 x，故()x在102，上单调递增；当12x 时，()0 x，故()x在 12，上单调递减，故max11()22ex，（11 分）故12ea，故所求实数 a 的取值范围为12e，（12 分）理科数学参考答案第 9 页（共 9 页）22（本小题满分 10 分）【选修 44：坐标系与参数方程】（1）解：由2222(2cos2 3sin)(2sin2 3cos)16xy，得曲线 C 为2216xy（5 分）（2）证明：直线 l 的极坐标方程展开为cos3 sin8，故 l 的直角坐标方程为38xy 显然 M 的坐标为(8 0)，不妨设过点 M 的直线方程为8cossinxtyt，(t 为参数)，代入 C 得216cos480tt，设 P，Q 对应的参数为 1t，2t，所以1 2|48t t为定值（10 分）23（本小题满分 10 分）【选修 45：不等式选讲】（1）证明：当5m 时，2()|5|3|(5)(3)|8ef xxxxx，则2ln()ln8ln e2f x成立（5 分）（2）解：关于 x 的不等式3()()2g xf xm可化为23|227|3|2xmxm，令2222222437()|227|3|3210 327242xmxh xxmxxmxmxmxm ，则22min71()22h xh mm，即21322mm，则有231022mm，解得112m（10 分）