1、第一章综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB、AD、BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量答案C解析向量AB、AD、BD显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又AD-AB=BD=BD,AB,AD,BD共面,C正确,D不正确.2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.ac,abD.以上都不对答案C
2、解析a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),ab=-4+0+4=0,ab.-4-2=-6-3=21,ac.3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1答案D解析如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.4.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,则AB+12BC+12BD等于()A.ADB.GAC.AGD.MG答案C解析M,G分别是BC,CD的中点,12BC=BM,12BD=MG.AB+12BC
3、+12BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.26答案B解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAD=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱锥的高h=|APn|n|=2613=2.6.已知两不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面
4、、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析由题意,n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.7.直线AB与直二面角-l-的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直线AB与,所成的角分别为和,则+的取值范围是()A.0+90B.0+90C.90+180D.+=90答案B解析如图,分别过点A,B向平面,作垂线,垂足为A1,B1,连接BA1,AB1.由已知,所以AA1,BB1,因此BAB1=,ABA1=.由最小角定理得BAA1,而BAA1
5、+=90,故+=+90-BAA190,当ABl时,+=90,应选B.8.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2),与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B
6、2=A3B3=A4B4,此时A1B2A1B1=22=4,与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=4,与A4B1=(0,1,2)相等的向量为A3B2,此时A1B2A4B1=22=4,与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3,与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5,体对角线向量为A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5,A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3,A3B1=(1,1,2),A1B2A3B1=-1+4=3,A4B2=(-1,
7、1,2),A1B2A4B2=1+4=5,综上集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5,集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.设向量a,b,c可构成空间一个基底,下列选项中正确的是()A.若ab,bc,则acB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底答案BCD解析由a,b,c是空间一个基底,知
8、:在A中,若ab,bc,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|答案BCD解析A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)(-1,5,-3
9、)=0,右边=(1,2,3)(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=59,a-b-c=(-1,-3,7),|a-b-c|=59,左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1EAC1B.BF平面ADD1A1C.BFDGD.A1ECH答案BCD解析设正方体的棱长为1
10、,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,G12,0,1,A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),则A1E=0,12,-1,AC1=(-1,1,1),BF=-1,0,12,DG=12,0,1,CH=0,-12,1,所以A1EAC1=-12,所以A1E与AC1不垂直,故A错误;显然平面ADD1A1的一个法向量v=(0,1,0),有BFv=0,所以BF平面ADD1A1,故B正确;BFDG=0,所以BFDG,故C正确;A1E=
11、-CH,所以A1ECH,故D正确.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:ACBD;ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中正确的结论有()A.B.C.D.答案ABD解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),ACBD=0,故ACBD,正确.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD
12、为等边三角形,正确.对于,OA为平面BCD的一个法向量,cos=ABOA|AB|OA|=(-1,-1,0)(0,1,0)21=-12=-22.因为直线与平面所成的角0,90,所以AB与平面BCD所成的角为45,故错误.又cos=ABCD|AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60,故正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a的正四面体中,ABBC+ACBD=.答案-a22解析棱长为a的正四面体中,AB=BC=a,且AB与BC的夹角为120,ACBD.ABBC+ACBD=aacos120
13、+0=-a22.14.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则xy=.答案-2解析由题中条件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)(2a-b),所以存在R使得1+2x=(2-x)且4=3且-y+4=(-2y-2),所以=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PARtABC所在的平面,BAC=90,PB,PC分别与成45和30角,PA=2,则PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.答案37解析作ADBC于点D,PA面ABC,PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2,AC=23,BC=4
14、,AD=3,连接PD,则PDBC,P到BC的距离PD=7.16.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);mn的最大值为2;(m,n的夹角)的最大值为34;若定义uv=|u|v|sin,则|mn|的最大值为2.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)答案解析取z轴的正方向单位向量a=(0,0,1),则cos=na|n|a|=1c2+d2+121=12=22,向量n与z轴正方向的夹角恒为定值4,命题正确;mn=ac+bda2+c22+b2+d22=a2+c2+b2+d22=1+12=1,当
15、且仅当a=c,b=d时取等号,因此mn的最大值为1,命题错误;由可得|mn|1,-1mn1,cos=mn|m|n|=ac+bda2+b2c2+d2+12-112=-22,的最大值是34,命题正确;由可知:-22cos22,434,22sin1,mn=|m|n|sin121=2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60,N是CM的中点,设a=AB,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示
16、出向量BN,并求BN的长.解BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AM-AC)=AD+12AM-(AD+AB)=-12AB+12AD+12AM.所以BN=-12a+12b+12c,|BN|2=BN2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=174.所以|BN|=172,即BN的长为172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1所成的角为3,求侧棱的长.(1)证明AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=
17、0.又ABC为正三角形,所以=-=-3=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+BB12+BB1BC=|AB|BC|cos+BB12=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)解由(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+BB12=BB12-1.又|AB1|=AB2+BB12=2+BB12=|BC1|,所以cos=BB12-12+BB12=12,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且cBC,求向量c;(2)已知向量ka+b与b
18、互相垂直,求k的值;(3)求ABC的面积.解(1)空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC,BC=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),|c|=3,且cBC,c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),|c|=(2m)2+m2+(-2m)2=3|m|=3,m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由题得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),向量ka+b与b互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是
19、5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos=ABAC|AB|AC|=-125=-110,sin=1-110=310,SABC=12|AB|AC|sin=1225310=32.20.(12分)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;(2)用向量法证明:BD平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM=14(OA+OB+OC+OD).证明(1)如图,连接BG,BD=2EH,BC=2BF,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+E
20、H=EF+EH,由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面.(2)因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD.所以EHBD,又EH平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD平面EFGH.(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=12BD,同理FG=12BD,所以EH=FG,EHFG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,所以OM=12(OE+OG)=1212(OA+OB)+12(OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB
21、=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?证明(1)如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.E,M分别为AC,BC中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.(2)BF
22、A1B1,BFAB,AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,AC2=8,则ABBC.如图,以B为原点,BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).则EF=(1,-1,1),ED=(-1,t-1,2),设DB1=t,则D(0,t,2),0t2.则平面BB1C1C的法向量为m=(0,1,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0,EDn=0,即x-y+z=0,-x+(t-1)y+2z=0,n=(1+t,3,2-t).则cos=3(1+t)2+
23、32+(2-t)2=32t2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=12时二面角的余弦值最大,则B1D=12时二面角正弦值最小.22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(1)求证:平面PBC平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60?(1)证明ADBC,Q为AD的中点,BC=12AD,BCQD,BC=QD,四边形BCDQ为平行四边形,BQCD.ADC=90,BCBQ.PA=PD,AQ=QD
24、,PQAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面ABCD,PQBC.又PQBQ=Q,BC平面PQB.BC平面PBC,平面PBC平面PQB.(2)解由(1)可知PQ平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-1,3,0),QB=(0,3,0),DC=(0,3,0),DP=(1,0,3),PC=(-1,3,-3),PC=(-1)2+(3)2+(-3)2=7.设PM=PC,则PM=(-,3,-3),且01,得M(-,3,3-3),QM=(-,3,3(1-).设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),则QMm=0,QBm=0,即-x+3y+3(1-)z=0,3y=0.令x=3,则y=0,z=1-,平面MBQ的一个法向量为m=3,0,1-.设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),则DCn=0,DPn=0,即3y=0,x+3z=0.令x=3,则y=0,z=-3,平面PDC的一个法向量为n=(3,0,-3).平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60,cos60=|nm|n|m|=|33-31-|123+(1-)2=12,=12.PM=12PC=72.即当PM=72时,平面QMB与平面PDC所成的角大小为60.