1、息县一高2014级高三下期第二次阶段性测试理科数学第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 （ ）A B C D2. 欧拉（，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式（为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数在复平面内位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 下列命题中，正确的是（ ）A B且， C已知为实数，则是的充分条件
2、 D已知为实数，则的充要条件是 4.已知圆（为坐标原点）经过椭圆的短轴端点和两个焦点，则椭圆的标准方程为（ ）A B C. D5.已知等差数列满足，则等于 （ ）A31 B 32 C. 61 D626.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 （ ）A B C. D157.已知函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）A0 B 2 C. 4 D88.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的值分别为21，28，则输出的值为（ ）A 14 B 7 C. 1 D09. 已知函数在点处的切线为，若与二次函数的图象也相切，则实数的取值为（
3、 ）A12 B8 C. 0 D410. 已知的三个顶点坐标为，为坐标原点，动点满足，则的最大值是（ ）A B C. D11.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C. D12.定义在上的函数，当时，且对任意实数，都有.若有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）A B C. D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.已知实数满足条件，若目标函数的最小值为3，则其最大值为 14.设二项式展开式中的常数项为，则的值为 15.已知是球的球面
4、上三点，且，为该球面上的动点，球心到平面的距离为球半径的一半，则三棱锥体积的最大值为 16.如图，平面四边形中，则的长为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）在锐角中，内角的对边分别为，对任意满足条件的，求的取值范围.18.某品牌汽车的店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.付款方式分3期分6期分9期分12期频数2020
5、（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列和数学期望.19.如图所示，已知长方体中，为的中点，将沿折起，使得.（1）求证：平面平面；（2）是否存在满足的点，使得二面角为大小为？若存在，求出相应的实数；若不存在，请说明理由.20.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长度为8，的中点到轴的距离为3.（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线
6、在轴上的截距为6，且抛物线交于两点，连结并延长交抛物线的准线于点，当直线恰与抛物线相切时，求直线的方程.21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若时，均有成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）化曲线的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线与轴的一个交点的坐标为，经过点作斜率为1的直线，交曲线于两点，求线段的长.23.选修4-
7、5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）若是正实数，且，求证：.试卷答案一、选择题1-5: DBCBA 6-10: BCBDA 11、12：BC二、填空题13. 7 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1），由得.所以函数的单调递减区间为.（2）由题意得，从而，又，所以，由于为锐角三角形，所以，又，所以，所以，所以.18.解：（1）由题意，则表中分6期付款购车的顾客频率，所以.（2）按分层抽样的方式抽取的5人中，有1位分3期付款，有3位分6期或9期付款，有1位分12期付款.随机变量可能取的值是5，6，7，则，所以随机变量的分布列为5670.30.40.3（万元）即为所求
8、.19.（1）证明：长方形中，为的中点，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以点为坐标原点，方向为轴正方向建立如图空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，取，得，所以，由（1）知平面的一个法向量，所以，解得或（舍去），故存在为所求.20.解：（1）设所求抛物线方程为，则，又，所以.即该抛物线的标准方程为.（2）由题意，直线的斜率存在，不妨设直线，由消得，即（*）抛物线在点处的切线方程为，令，得，所以，而三点共线，所以及，得.即，整理得，将（*）式代入上式得，即，所以所求直线的方程为.21解：（1）当时，当或时，；当或时，.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2），当时，恒成立，故时，不合题意；当时，由得：，若，此时，对，有，即时，不合题意；若，此时，对，有，即时，不合题意；若，由（1）知，函数在时取到最大值0，符合题意.综上所述，即为所求.22.解：（1）曲线的普通方程为，表示焦点在轴上的椭圆，由，得，整理得，即为曲线的普通方程，表示以为圆心，半径为的圆.（2）令，得，所以，直线，将曲线的参数方程代入直线方程得：，整理得，即，或，所以，.23.（1）解：，所以，即.（2）证明：由于，由于，所以，同理可证：，三式相加得.