1、热点09 二次函数【命题趋势】中考中对二次函数的考查除定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合题在压轴题中出现的可能性很大【满分技巧】一、二次函数表达式的确定步骤：（1）设二次函数的表达式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式二、二次函数的实际应用 （1）利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润=总售价总成本”或“总利润=每件商品所获
2、利润销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；（2）最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值三、二次函数的图象与几何图形的关系将函数知识与几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将问题转化函数模型，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1抛物线y=+1的顶点坐标为A（3，1）B（3，1）C（，1）D（，1
3、）【答案】C【解析】抛物线y=+1中，2x3=0时，x=，故抛物线y=+1的顶点坐标为：（，1）故选C2对于函数y=2（x3）2，下列说法不正确的是A开口向下B对称轴是C最大值为0D与y轴不相交【答案】D【解析】对于函数y=2（x3）2的图象，a=20，开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为（3，0），函数有最大值0，故选项A、B、C正确，选项D错误，故选D3若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy2y30，y1y3y2，故选D4当x=a和x
4、=b（ab）时，二次函数y=2x22x+3的函数值相等、当x=a+b时，函数y=2x22x+3的值是A0B2C1D3【答案】D【解析】当x=a或x=b（ab）时，二次函数y=2x22x+3的函数值相等，以a、b为横坐标的点关于直线x=对称，则，a+b=1，x=a+b，x=1，当x=1时，y=2x22x+3=22+3=3，故选D5若函数y=（m1）x26x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为A2或3B2或3C1或2或3D1或2或3【答案】C【解析】当m=1时，函数解析式为：y=6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，当m1时，函数为二次函数，函数y=（m1）x26x+m的图象与x轴
5、有且只有一个交点，624（m1）m=0，解得，m=2或3，故选C6将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为ABCD【答案】B【解析】抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，得：y=（x2）2；再向上平移3个单位长度，得：y=（x2）2+3故选B7反比例函数的图象如图所示，则二次函数y=2kx24x+k2的图象大致是ABCD【答案】D【解析】函数的图象经过二、四象限，k0，由图知当x=1时，y=k1，抛物线y=2kx24x+k2开口向下，对称轴为x=，11故选D8已知两点A（5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a0）上，点C（x0，y0）是该抛
6、物线的顶点若y11Bx05Cx01D2x03【答案】A【解析】点C（x0，y0）是该抛物线的顶点且y1y2y0，a|3x0|，x01故选A9（福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习（二模）数学试题）二次函数y=x2+bxt的对称轴为x=2若关于x的一元二次方程x2+bxt=0在1x3的范围内有实数解，则t的取值范围是A4t5B4t3Ct4D3t5【答案】A【解析】抛物线的对称轴x=2，b=4，则方程x2+bxt=0，即x24xt=0的解相当于y=x24x与直线y=t的交点的横坐标，方程x2+bxt=0在1x3的范围内有实数解，当x=1时，y=1+4=5，当x=3时，y=912=3，又
7、y=x24x=（x2）24，当4t5时，在1x3的范围内有解t的取值范围是4t0，方程（x+a）（xa1）=1有两个不相等的实数根；正确，P（x0，m），Q（1，n）在抛物线上，m=x02x0a2a，n=121a2a=a2a，mn，x02x0a2aa2a，x02x00，x0（x01）x01，x00且x010，即0x01，正确，综上所述：正确的结论有，共3个，故选D11如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：4ab=0；c3a；4a2bat2+bt（t为实数）；点（，y1），（，y2），（）是该抛物
8、线上的点，则y2y1y3，其中，正确结论的个数是A1B2C3D4【答案】C【解析】抛物线的对称轴为直线x=2，4ab=0，所以正确；与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c0，且b=4a，即ab+c=a4a+c=3a+c0，所以正确；由函数图象知当x=2时，函数取得最大值，4a2b+cat2+bt+c，即4a2bat2+bt（t为实数），故错误；抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=2，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，y2y1y3，故错误，故选C二、填空题12二次函数的最大值是_【答
9、案】7【解析】，即二次函数的最大值是7，故答案为：713已知函数y=x2+2x2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a2，则y1与y2的大小关系是_（填“”或“=”）【答案】【解析】y=x2+2x2=（x1）21，对称轴x=1，A（2，y1），B（a，y2），其中a2，点A与B在对称轴的右侧，12时，y随x的增大而减小，y1y2，故答案为：14已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c的值为_【答案】1【解析】抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x=2，P（3，1）对称点坐标为（1，1），当x=1时，y=1，即a+b+c
10、=1，故答案为：115已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为_【答案】（2，5）【解析】二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，当x=2时，y=ax2+bx+c=5，抛物线的顶点坐标是（2，5）故答案为：（2，5）16将抛物线y=2（x1）2+3绕它的顶点旋转180后得到的抛物线的函数表达式为_【答案】y=2（x1）2+3【解析】抛物线y=2（x1）2+3的顶点坐标为（1，3），由于抛物线y=2（x1）2+3绕其顶点旋转180后抛物线的
11、顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为y=2（x1）2+3，故答案为：y=2（x1）2+317如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_s【答案】4【解析】依题意，令得：，得：，解得：（舍去）或，即小球从飞出到落地所用的时间为，故答案为：4三、解答题18已知抛物线与轴有两个不同的交点（1）求的取值范围；（2）若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由【解析】（1），由题意，得，的取值范围是（2），理由如下：抛物线的对称轴为直线，又，当时，随的增大而增大，19已知抛物线（1）若该抛物线与x轴有公共点，求c的取
12、值范围；（2）设该抛物线与直线交于M，N两点，若，求C的值；（3）点P，点Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，都垂直于x轴，垂足分别为A，B，若，求c的取值范围【解析】（1）抛物线与x轴有交点，一元二次方程有实根，即解得（2）根据题意，设由，消去y，得由，得方程的解为，解得（3）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，且，两式相减，得，即，即，其中由，即，得当时，不合题意又，得c的取值范围是20我市某超市销售一种文具，进价为5元/件售价为6元/件时，当天的销售量为100件在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为x元/件（x6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销
13、售利润为y元（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润【解析】（1）由题意，y=（x-5）（100-5）=-10x2+210x-800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800（2）要使当天利润不低于240元，则y240，y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，-100，抛物线的开口向下，当天销售单价所在的范围为8x13（3）每件文具利润不
14、超过80%，得x9，文具的销售单价为6x9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，对称轴为x=10.5，6x9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元21如图，已知抛物线经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得
15、BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将AOC绕平面内某点H顺时针旋转90，得到A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，y=+x+2（2）点C与点D关于x轴对称，D（0，2）设直线BD的解析式为y=kx2将（4，0）代入得：4k2=0，k=直线BD的解析式为y=x2当P点与A点重合时，BQM是直角三角形，此时Q（1，0）；当BQBD时，BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=2x+8，2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍），x=3；Q（3，2）或Q（1，0）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y1），O1（x，y1），当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是