1、陕西省西安市第八十三中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 用反证法证明“如果，那么”，假设内容应为（ ）A. B. C. 或D. 或D分析：反证法是假设结论不成立，由此得出答案.解答：因为反证法是假设结论不成立，所以假设的内容应为，即或故选：D2. 为虚数单位，复平面内表示复数的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限C故选C3. 函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. A分析：根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单
2、调递减，确定函数的单调性解答：解：由题意可知，求函数单调减区间，根据图象，解集为，故选：A4. 如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2014到2016的箭头方向依次为（ ）A. B. C. D. B分析：根据图形得出箭头变化的周期为，结合周期性得出答案.解答：由题意可知箭头变化的周期为，故从2014到2016的箭头方向与从到的箭头方向一致，依次为故选：B5. 曲线和所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（ ）A. B. C. D. A分析：欲求曲线和所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数在上的积分即可.解答：设
3、旋转体的体积为，则.故选：A6. 已知的边长分别为、，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知：若三棱锥的四个面的面积分别为、，内切球半径为，三棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. C分析：由三角形类比三棱锥，则三角形的面积类比三棱锥的体积，由内切圆类比内切球，可得出结论.解答：的边长分别为、，的面积为，内切圆半径为，由等面积法可得，.类比这个结论：三棱锥的四个面的面积分别为、，内切球半径为，三棱锥的体积为，由等体积法可得，.故选：C.点拨：易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球
4、，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等7. 函数在下面哪个区间内是增函数 ( )A. B. C. D. B分析：求后令可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项.解答：令，则，令，可得或，故选B.点拨：一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则.8. 已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）A. B. C. 或D. 或C分析：设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.解答：设切点为，则，切线斜率为 所以切线方程为，因为过点 则 解得或，所以切线方程
5、为或故选：C9. 方程的根的个数是（ ）A. B. C. D. C分析：将等式变形为，作出函数与的图象，可得出结论.解答：显然不满足，由可得，整理得，即，作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数的图象有两个交点，因此，方程的根的个数为.故选：C.点拨：方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.10. 若是函数极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. A由题可得，因为，所以，故，令，解得或，
6、所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值11. 定义在上的函数满足：恒成立，若，则与的大小关系为A. B. C. D. 与的大小关系不确定A分析：构造函数，可得，于是函数在上单调递增，进而得出详解】解：构造函数，则，因此函数在上单调递增，即，因此：故选：A点拨：本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了推理能力与计算能力
7、，属于中档题12. 设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. D试题分析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，即在上单调递减，在上单调递增，又，只需，即实数的取值范围是，故选D.考点：函数综合题.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13. 函数的最小值为_ .分析：求导，判断函数的单调性，根据单调性即可求解.解答：，令，解得，令，解得，
8、所以函数在上单调递减；在上单调递增，所以.故答案为：14. 由曲线，直线，所围成的平面图象的面积为_试题分析： 考点：定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和2利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论15. 已知复数满足，则的最小值为_ .分析：根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案解答：设，由得，所以，即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，表
9、示的是点与点的距离，所以其最小值为点到圆心的距离减去半径，即，故答案为：16. 若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是_ .分析：求出导函数 ，只需在区间上有解即可.解答：，则，函数在区间（-1，1）上存在减区间，只需在区间上有解，记，对称轴，开口向下，只需，所以，解得， 故答案为：17. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是_.试题分析：由题意，时，即，又时，所以切线方程为，令，得，即，所以，其前项和为考点：导数的几何意义，等比数列的前项和【名师点睛】求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程：(1)求出函数yf(x)在点xx0处的
10、导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率(2)切线方程为：yy0f(x0)(xx0)三、解答题（本大题共4小题，满分44分）18. 已知复数（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）若是纯虚数，求m的值.（1）（2）分析：（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；解答：（1）由题意可得，解得（2）由题意可得，解得19. 数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1），；（2）证明见解析.试题分析：（1）分别令，可求解的值，即可猜想通项公式；（2）利用数学归纳法证明.试题解析：（1）
11、，由此猜想；（2）证明：当时，结论成立；假设（，且），结论成立，即当（，且）时，即，所以，这表明当时，结论成立，综上所述，.考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明.20. 商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时
12、函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克把x=5,y=11代入,解关于a的方程即可求a.(2)在（1）的基础上，列出利润关于x的函数关系式，利润=销售量（销售单价成品单价），然后利用导数求其最值即可.21. 已知函数.（1）求证：当时，；（2）设实数k使得对恒成立，求k的最大值.（1）证明见详解；（2）分析：（1）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.（2）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围.解答：（1）证明：， 令，则，因为，所以在上单调递增，所以，即当时，.（2）由（1）可知，当时，对恒成立，当时，令，则，所以当时，因此在区间上单调递减，当时，即，所以当时，并非对恒成立，综上可知，k的最大值为.点拨：关键点点睛：本题考查了构造新函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是由（1）确定当时，对恒成立，考查了运算求解能力.
