1、课时作业梯级练四十一 数列的综合应用 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1等差数列 an的首项为 1，公差不为 0，若 a2，a3，a6 成等比数列，则数列 an的前 6 项和为()A17 B9 C10 D24【解析】选 D.设 an的公差为 d(d0)，因为 a2，a3，a6 成等比数列，所以 a23 a2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，所以 d22a1d0，因为 d0，所以 d2a1212，所以数列 an的前 6 项和为 S616652(2)24.2图一为勾股树，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第 1代勾股树，重复图二的作法，得到图三为第 2
2、 代勾股树，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代勾股树所有正方形的个数与面积的和分别为()A.2n1，nB2n1，n1C2n11，nD2n11，n1【解析】选 D.当 n1 时，正方形有 2021 个，当 n2 时，正方形有 202122 个则第 n 代勾股树的正方形有 2021222n2n11 个，最大的正方形面积为 1，当 n1 时，由勾股定理知正方形面积的和为 2，以此类推，所有正方形面积的和为 n1.3设an是等比数列，且 a1a2a31，a2a3a42，则 a6a7a8()A12 B24 C30 D32【解析】选 D.设等比数列 an的公比为 q，则 a1a2a3a1(
3、)1qq21，a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q()1qq2q2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5()1qq2q532.4我国古代数学名著算法统宗中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有 996 斤棉花全部赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子开始，以后每人依次多 17 斤，直到第 8 个孩子为止在这个问题中，第 1 个孩子分到的棉花为()A75 斤B70 斤C65 斤D60 斤【解析】选 C.设第 1 个孩子分到的棉花为 a 斤，根据题意可知，从第 1 个孩子开始，以后每人分到的棉花是以 a
4、为首项，以 17 为公差的等差数列，S88a87217996，解得 a65.5数列 an的各项都是正数，且数列log3an是等差数列，若 a5a6a4a718，则 log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35【解析】选 B.因为数列log3an是等差数列，所以 log3an1log3anlog3an1and，所以an1an3d，nN*，所以数列 an是等比数列，所以 a5a6a4a7，又 a5a6a4a718，所以 a5a6a4a79，所以 a1a10a2a9a4a7a5a69，所以 log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3951
5、0.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数 RO.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是 RO1确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间(单位：天).根据统计，确诊病例的平均增长率为 40%，两例连续病例的间隔时间的平均数是 5 天，根据以上 RO 公式计算，若甲得这种传染病，则 4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为_.【解析】由题意知，RO140%53，所以得病总人数为 3323334120(人).答案：12
6、07(2020泰州模拟)设函数 f(x)1xb 1，若 a，b，c 成等差数列(公差不为零)，则 f(a)f(c)_【解析】因为 a，b，c 成等差数列，所以 2bac，f(a)f(c)1ab 1 1cb 1cbab（ab）（cb）2ac2b（ab）（cb）22.答案：28(2020如皋模拟)对于任意一个偶数 m，都存在奇数 n 及其正整数 t，使得 mn2t，我们把n 称为 m 的“奇因子”若数列 an的通项公式为 ann22n22n，则该数列的前 n 项的“奇因子”的倒数之和为_【解析】因为ann22n22n2n(4n21)，所以奇因子为4n21，所以奇因子的倒数为14n21，即12 12
7、n112n1，其前 n 项和为12 113131512n112n112 112n1n2n1.答案：n2n1三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.(2021临沧模拟)已知数列an是公差不为 0 的等差数列,首项 a1=1,且 a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足 bn=an+,求数列bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设数列an的公差为 d,由已知得,=a1a4,即(1+d)2=1+3d,解得 d=0 或 d=1.又 d0,所以 d=1,可得 an=n.(2)由(1)得 bn=n+2n,所以 Tn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+(
8、n+2n)=(1+2+3+n)+(2+22+23+2n)=+2n+1-2.10.已知数列an的前 n 项和 Sn=2n+1+n-2.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=log2(an-1),求证:+1.【解析】(1)由 得 an=2n+1(n2),当 n=1 时,a1=S1=3 符合上式,综上 an=2n+1.(2)由 bn=log2(an-1)=log22n=n,得+=+=+=1-0,m0 且 a8a7,则 m3,故实数 m 的取值范围是.答案:4已知数列 an的通项公式为 ann 98n 99(nN)，求其前 30 项中最大项的项数与最小项的项数之和【解析】ann 98n 99 1
9、 99 98n 99，所以当 n9 时，an 随着 n 的增大越来越小且小于 1，当 10n30 时，an 随着 n 的增大越来越小且大于 1，则前 30 项中最大项为 a10，最小项为 a9，则 91019.5(2020胶州模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，Snann2，nN*.(1)证明：数列an1为等比数列；(2)若数列 bn满足：anbn1bn1，b11，证明：bn2.【证明】(1)由题知：Snann2，Sn1an1n1(n2)，两式相减得 2anan11(n2)，所以 2(an1)an11(n2)，an1an11 12(n2)，又因为 S1a13，所以 a132，因为 a1
10、112 0，所以数列an1是首项为12，公比为12 的等比数列(2)由(1)知 an1 12n，得 an112n，所以 an1bn1bn 12n，所以 bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)112 122 12n1，所以 bn2 12n12.1在进行 123100 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法已知数列 ann2m4 034，则 a1a2am2 016()Am2 504 Bm4 504Cm504 D2m504【解析】选 B.依题意，记 Sa1a2am2 016，则 S12m4 034
11、 22m4 034 m2 0162m4 034，S m2 0162m4 034 m2 0152m4 034 12m4 034，两式相加得 2S m2 0172m4 034 m2 0172m4 034 m2 0172m4 034 m2 0162，则 Sm2 0164m4 504.【加练备选拔高】已知数列 an的前 n 项和为 Sn,数列 bn的前 n 项和为 Tn,满足 a1=2,3Sn=(n+m)an,(mR,nN*)且 anbn=12.若对任意 nN*,Tn 恒成立,则实数 的最小值为_.【解析】因为 3Sn=(n+m)an,令 n=1 有 3S1=a1,可得 m=2,所以 3Sn=an,当
12、 n2 时,3Sn-1=an-1,故 3an=an-an-1,(n-1)an=(n+1)an-1,即=,=,故为常数列,所以=,又 a1=2,故=1,an=n(n+1),又 anbn=,所以 bn=,故 Tnb1b2bn12 11212131n 1n112 1 1n112，又对任意 nN*，Tn 恒成立，故 12，故 的最小值为12.答案：122(2020上海模拟)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列 In，In表示第 n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略 A：环境整治，“
13、虫害指数”数列满足 In11.02In0.20；策略 B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足 In11.08In0.46；当某周“虫害指数”小于 1 时，危机就在这周解除(1)设第一周的虫害指数 I11，8，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数 I13，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【解析】(1)由题意可知，使用策略 A 时，I21.02I10.20；使用策略 B 时，I21.08I10.46.令 1.02I10.20()1.08I10.460I1133，即当 I11，133时，使用策略 B 第二周严重程度更小；当 I1133 时，使用两种策略第二周严重程度一样；当 I1133，8时，使用策略 A 第二周严重程度更小(2)由(1)可知，最优策略为策略 B，即 In11.08In0.46，In1234 1.08In234，所以数列In234是以114 为首项，1.08 为公比的等比数列，所以 In234 1141.08n1，即 In1141.08n1234，令 In1，可得 n9，所以虫害最快在第 9 周解除