1、习题课直线与方程课后训练巩固提升A组1.如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值为()A.1B.-C.-D.-2解析:由a1+21=0,得a=-2.答案:D2.若直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为()A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3解析:由题意得解得m=2或m=-3.答案:C3.直线l:x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为()A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.x+y+1=0D.x-y-1=0解析:直线x-y+1=0的斜率为1,与y轴相交于点(0,1),直线l关于y轴对称的直线过点(0,1),且斜率为-1.
2、直线l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0.答案:A4.(多选题)已知A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12)四个点,则下面四个结论正确的是()A.ABCDB.ABADC.|AC|=|BD|D.ACBD解析:kAB=-,kCD=-,ABCD,故A正确;又kAD=,kADkAB=-1,ABAD,故B正确;又|AC|=,|BD|=,|AC|=|BD|,故C正确;又kAC=,kBD=-4,kACkBD=-1,ACBD,故D正确.答案:ABCD5.已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,若l1l2,则实数a的值是.解析:由题意得a1+a(a+2)=0,
3、即a2+3a=0,解得a=0或a=-3.答案:0或-36.已知直线l与直线3x+4y-7=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则直线l的方程为.解析:设直线l的方程为3x+4y+m=0.令y=0得x=-;令x=0得y=-.因为直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24,所以=24,解得m=24.所以,直线l的方程为3x+4y+24=0或3x+4y-24=0.答案:3x+4y+24=0或3x+4y-24=07.已知光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.解析:设点M关于直线l:x-y+3=0的对称点K(a,b),则a-
4、3,且满足解得即K(1,0).过点K(1,0),N(2,6)的直线方程是6x-y-6=0,即反射光线所在直线的方程是6x-y-6=0.答案:6x-y-6=08.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l的方程.(1)l与l平行,且过点(-1,3);(2)l与l垂直,且在两坐标轴上的截距相等.解:(1)直线l的方程可化为y=-x+3,直线l的斜率为-.直线l与l平行,且过点(-1,3),直线l的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.(2)直线l与l垂直,l的斜率为.设l的方程为y=x+b,则l在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b.由-b=b,得b=0.直线l的
5、方程为y=x,即4x-3y=0.9.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1l2,且l1经过点(-3,-1);(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)由l1l2,得a(a-1)-b=0.l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.联立,解得a=2,b=2.(2)直线l2的斜率存在,且l1l2,直线l1的斜率存在.k1=k2,即=1-a.又坐标原点到这两条平行直线的距离相等,l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=-(-b).联立,解得a=2,b=-2或a=,b=2.B组1.若P,Q分别是直线3x+4y-12
6、=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.解析:直线方程6x+8y+5=0可化为3x+4y+=0.由题意得|PQ|min=.答案:C2.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线的方程是()A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析:(方法一)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知.解得C=-6(舍)或C=8.故所求直线的方程为2x+3y+8=0.(方法二)设(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点(2-x0,-2-y0)在直线2x+3y-6=0上,代入
7、可得所求直线的方程为2x+3y+8=0.答案:D3.若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,则直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)解析:直线l1的方程可化为kx=x+y-2.由得l1恒过定点(0,2),记为点P.设直线l2恒过定点Q(m,n),则点P和Q也关于直线y=x+1对称.于是,有解得即Q(1,1).故直线l2恒过定点(1,1).故选C.答案:C4.已知直线x+y-3=0,则的最小值为.解析:设直线x+y-3=0上一点P(x,y),A(2,-1),则|PA|=.|PA|的最小值即为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的
8、距离d=.答案:5.在函数y=4x2的图象上求一点P,使点P到直线y=4x-5的距离最短,则点P的坐标为.解析:直线的方程可化为4x-y-5=0.设P(a,4a2),则点P到直线的距离为d=.当a=时,点P到直线的距离最短.答案:6.已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.解:(1)根据题意可设直线l的方程为(2x+y-5)+(x-2y)=0,R,即(2+)x+(1-2)y-5=0.由点A(5,0)到l的距离为3,得=3,解得=2或=.所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由即交点P(2,1).如图,过点P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d|PA|(当lPA时等号成立).因此,dmax=|PA|=.7.已知点A(-3,5),B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上找一点P,使|PA|+|PB|最小,并求出这个最小值及点P的坐标.解:设点A关于直线l的对称点为A(a,b),则由AAl和线段AA的中点在直线l上,得解得即A(3,-3).直线AB与直线l的交点P,使|PA|+|PB|最小,最小值为|AB|=5.由点斜式,得直线AB的方程为y+3=-18(x-3).解方程组即P.