1、黑龙江省伊春市第二中学2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）分值：150分 时间：120分钟一、选择题（每题只有一个正确选项）1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正确选项【详解】由解得，故.故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件有，利用复数代数形式的乘法运算化简，得到答案【详解】解：复数z满足，化简得，故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算
2、，是基础题3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得正确.【详解】不是单调递增函数，可知错误；，则函数为偶函数，可知错误；在上单调递减，可知错误；，则为奇函数；当时，单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函数对称性，可知在上单
3、调递增，则正确.本题正确选项：【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知向量，则（ ）A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】D【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可【详解】解：因为，所以，解得，故选：D【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查，属于基础题6.在等差数列中，是方程的两个实根，则( )A. B. -3C. -6D. 2【答案】A【解析】【分析】利用韦达定理列出，的关系式，然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值.【详解】由于，是方程的两个实根，所以，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，
4、考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题.7. 将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则所有的情况为,而甲、乙两名同学分在同一小组的情况有2种，那么可知由古典概型概率得到结论为，故选C考点：古典概型点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目8.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标为（ ）A. B. C.
5、D. 【答案】D【解析】【分析】根据解析式可知双曲线的焦点在轴上,结合渐近线方程及的值,可得的值.由双曲线中的关系即可求得,得焦点坐标.【详解】由双曲线可知双曲线焦点在轴上,所以渐近线方程可表示为 由及渐近线方程可得解得 双曲线中满足则解得,则焦点坐标为故选:D【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的简单应用,双曲线中的关系,属于基础题.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为3考点：程序框图10.某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的体积为
6、( )A. B. C. D. 1【答案】A【解析】试题分析：由图可得,故选A.考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握锥体的体积公式.11.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数为奇函数，排除B、D，再由当时，则有可排除A，得到答案.【详解】解：根据题意，其定义域为，有，即函数为奇函数，排除B、D；当
7、时，则有，必有，排除A；故选：C【点睛】本题考查根据函数的解析式结合函数的性质选择函数图像，属于中档题.12.已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解.【详解】由题意，设，则，因为当时，有，所以当时，所以函数在上为增函数，因为，又函数是偶函数，所以，所以，而当时，可得，而时，有，根据偶函数图象的对称性，可知的解集为，故选B.【点睛】该题考查是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等
8、式，属于中档题目.二、填空题13.已知函数，则_【答案】【解析】【分析】利用分段函数的性质，先求出，再求的值.【详解】因函数，所以，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关与分段函数相关的求多层函数值的问题，注意应从内向外求解，再者就是需要分清范围，代哪个关系式.14.设x、y满足约束条件，则的最小值是_.【答案】-6【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点时，从而得到的最小值即可【详解】解：由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线截距最大，此时z最小，由得，即，代入目标函数，得目标
9、函数的最小值是6故答案为：【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题15.点A，B，C，D均在同一球面上，平面ABC，其中是边长为3的等边三角形，则该球的表面积为_【答案】48【解析】【分析】设球心为，为底面三角形中心，则底面ABC，设E为AD中点，则，在矩形，容易求得半径【详解】解：如图，设球心为，为底面三角形的中心，则底面ABC，设E为AD中点，则，在正三角形ABC中，由.则ABC的边边上的高为 则，又，故答案为：48【点睛】此题考查了三棱锥外接球，难度适中,属于中档题.16.已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为_【答案】7【解析】【分析】根据题意，将Sn3an2变形
10、可得Sn13an12，两式相减变形，并令n1求出a1的值，即可得数列an是等比数列，求得数列an的通项公式，再由错位相减法求出Tn的值，利用Tn100，验证分析可得n的最小值，即可得答案【详解】根据题意，数列an满足Sn3an2，当n2时，有Sn13an12，可得：an3an3an1，变形可得2an3an1，当n1时，有S1a13a12，解可得a11，则数列an是以a11为首项，公比为的等比数列，则an（）n1，数列nan的前n项和为Tn，则Tn1+23（）2+n（）n1，则有Tn2（）2+3（）3+n（）n，可得：Tn1+（）+（）2+（）n1n（）n2（1）n（）n，变形可得：Tn4+（2
11、n4）（）n，若Tn100，即4+（2n4）（）n100，分析可得：n7，故满足Tn100的最小的n值为7；故答案为7【点睛】本题考查数列的递推公式及错位相减法求和，关键是分析数列an的通项公式，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，的对边分别为，若，（1）求的大小；（2）若，求，的值.【答案】（1）（2），或，.【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即为，从而解得.（2）利用余弦定理及构建关于的方程，解出.详解：（1）由已知得，.，.，所以，所以（2），即，又，或，点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个
12、角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18.在某次测验中，某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示.（）估计这40名学生的测验成绩的中位数精确到0.1；（）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？合格优秀合计男生16女生4合计40附： 0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】() ()见解析【解析】分析】()根据频率分布直方图，找到
13、矩形面积和为时横坐标的取值即为中位数；()根据频率分布直方图计算频数可补足列联表，根据公式计算出，对比临界值表求得结果.【详解】()由频率分布直方图易知：即分数在的频率为：所以解得：名学生的测验成绩的中位数为()由频率分布直方图，可得列联表如下：合格优秀合计男生女生合计故没有的把握认为数学测验成绩与性别有关【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数、独立性检验问题，属于常规题型.19.如图所示，在四棱锥中，平面，点在棱上.（）求证：；（）当平面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）根据条件，证得平面，根据平面，证得；（2）根据题意，得到，进一步求得，之后应用相
14、关公式求得三棱锥的体积，也可以利用顶点和底面转换来求.【详解】（）证明：设中点为，连接、，由题意，四边形为平行四边形.又，为正方形.在中，又，.平面，平面，.平面，且，平面.平面，.（）法一：由已知平面，.，到平面的距离等于到平面的距离，所以三棱锥的高.法二：由已知平面，.在中，.由（）知平面，.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面垂直的性质，三棱锥的体积的求解，注意思路的不唯一性.20.已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.【答案】（1
15、）（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题中所给的条件，得到所满足的等量关系式，求解即可；（2）分直线AB的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，写出直线的方程，将其与椭圆方程联立，根据题中的条件，求得，从而求得直线所过的定点为，当直线AB斜率不存在时，验证也过该点，得证.【详解】（1）由题意知：，.解得，所以椭圆方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，.由，得，联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，.代入得，整理得.，所以直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，.由，得，.当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.【点睛】该题考查的是有关解
16、析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆相交，动直线过定点问题，注意分类讨论思想的应用.21.已知函数（1）若在上单调递增，求a的取值范围；（2）当且时，求m的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由在上单调递增，可得恒成立，即，利用导数可得为增函数，由求解 的取值范围；（2）当时，设，两次求导证明时成立，当时不成立，可得的取值范围.【详解】(1)在上单调递增.，即设，则，则，得（2）当时，设，则，再令，则若，在上单调递增.，是增函数，可得成立.若，在上调递增，.存在使得 ，当时，.在上单调递减，可得，即不成立综上可得，m的取值范围为【点睛】本题考查利用导数研
17、究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题22.已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为（）写出直线l参数方程和圆的标准方程；（）设直线l与圆相交于A，B两点，求PAPB的值【答案】() 圆C方程为：，直线的参数方程为(t为参数)；()3.【解析】试题分析：（）圆的标准方程,两式平方相加,消去参数即可, 直线l的参数方程可直接利用为参数,来写出;（）设直线l与圆相交于A，B两点，求PAPB的值,而PA,PB即为直线与圆交点的的值,故将直线方程代入圆的方程即可.试题解析：（），为参数（）把代人得，, 设是方程的两个实根，则,所以考点：本题考查参数方程，一般方程的应用以及相互转化，考查学生的转化与化归能力
