1、玩转函数第五招 焦建新编第5招：函数的单调性一、知识点回顾1.函数单调性的概念如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2，都有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数.注意：1）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图像能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.2）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.定义的变式(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在
2、某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.2.复合函数的单调性讨论函数yf(x)的单调性时要注意两点：(1)若u(x)，yf（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则yf(x)为增函数；(2)若u(x)，yf(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则yf(x)为减函数.3.单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相同的单调性；C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)0
3、，则函数f(x)与具有相反的单调性.(4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)是减(增)函数.4.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差化简、变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而证得函数的增减性.说明：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，即函数的单
4、调区间是其定义域的子区间.函数的单调性是函数的重要性质之一，应用它可以比较函数值的大小，求函数的值域、最值；应用它可研究方程根的情况；也可求函数解析式中参数的范围；绘函数的图像时，也经常应用它.5、指数函数与对数函数的单调性函数yax(a0且a1)，当0a1时，指数函数yax 在(-，+)上为增函数。 函数ylogax(a0且a1)，当0a1时，对数函数ylogax 在(-，+)上为增函数。 7.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： 8. 掌握函数的图象和性质；函 数(b ac0)）定义域值 域奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b-ac0时:分别在上单调递减；当b
5、-ac0时:分别在上单调递增；在上单调递增；在上单调递增；图象yXoX=-cY=axyo9、特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）二、例题【例1】 画出函数y-x2+2x+3的图像，并指出函数的单调区间.解：函数图像如下图所示，当x0时，y-x2+2x+3-(x-1)2+4；当x0时，y-x2-2x+3
6、-(x+1)2+4.在(-，-1和0，1上，函数是增函数：在-1，0和1，+）上，函数是减函数.评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.【例2】已知函数f(x)x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，求实数a的取值范围.分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.解：f(x)x2+2(a-1)x+2x+(a-1)2-(a-1)2+2，此二次函数的对称轴是x1-a.因为在区间(-，1-a上f(x)是单调递减的，若使f(x)在(-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3.评
7、析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合.【例3】 讨论函数f(x) (a0)在区间(-1，1)内的单调性.分析 根据函数的单调性定义求解.解：设-1x1x2，则f(x1)-f(x2)-x1，x2(-1，1)，且x1x，x1-x20，1+x1x20，(1-x21)(1-x22)0 于是，当a0时，f(x1)f(x2)；当a0时，f(x1)f(x2). 故当a0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a0时，函数在(-1，1)上为减函数.评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1)设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；(2)作差f(
8、x1)-f(x2)，并将此差式变形；(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性.变式：求证：f(x)x+ (k0)在区间(0，k上单调递减.解：设0x1x2k，则f(x1)-f(x2)x1+-x2-0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2，f(x1)-f(x2)0f(x1)f(x2)，f(x)x+中(0，k上是减函数.评析 函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此，若要证明f(x)在a,b上是增函数(减函数)，就必须证明对于区间a,b上任意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f(x1)f(x2)(f(x1
9、)f(x2)类似可以证明：函数f(x)x+ (k0)在区间k，+）上是增函数.【例4】求下列函数的单调区间.(1)y=log2(x-4)； (2) y. (3) y=log0.5(-x2+2x+8)解：(1)定义域是(4，+)，设t=x-4,当x4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大，(4，+)是y=log2(x-4)的递增区间.(2) 分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y,ux2-3x+2，其中y为减函数ux2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减增)ux2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增减)解：设y,ux2-3x+2,y关于u递减，当x(-
10、，)时，u为减函数，y关于x为增函数；当x，+)时，u为增函数，y关于x为减函数.(3)分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8(-2x4)的单调性相反.解：-x2+2x+80， -2x4， 原函数的定义域为(-2，4).又 函数u=-x2+2x+8=-(x-1)2+9在(-2，1上为增函数，在1，4)上为减函数，函数y=log0.5(-x2+2x+8)在(-2，1上为减函数，在1，4)上为增函数.评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集.【例5】已知函数f(x)=loga(a-ax)(a1)，(1)求f(x)的定义域、值域.(2
11、)判断并证明其单调性.(3)解不等式f-1(x2-2)f(x).解：(1)要使函数有意义，必须满足a-ax0，即ax1B.a2C.aD.1a1，且 A. B. C. D. 随a的不同取值，大小关系不定10、已知函数f（x）在定义域R内是减函数且f（x）0 Ca0 Da0且a1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的单调性.习题答案一、选择题：1C2A3D4B5C6B7B8B二、填空题：18、 19、 20、21、 22、三、解答题：28、(-，7)29、证明略30、(1)f(1)=0; (2)f(6)=f()=f(36)-f(6), f(36)=2f(6)=2.故原不等式为f(x+3)-f()f(36) 31、 (1)易得f(x)的定义域为xxR.设y,解得axax0当且仅当0时，方程有解.解0得-1y1时，ax+1为增函数，且ax+10.为减函数，从而f(x)1-为增函数.2当0a1时，类似地可得f(x)为减函数.