1、6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时习题课余弦定理和正弦定理的综合应用课后训练巩固提升一、A组1.在ABC中,若c=2,A=30,B=120,则ABC的面积为()A.B.C.3D.3解析:C=180-30-120=30,a=c=2,面积S=acsin B=22sin 120=.答案:B2.已知三角形的面积为,其外接圆的面积为,则这个三角形的三边之积为()A.1B.2C.D.4解析:由题意得,三角形外接圆的半径R=1,三角形面积S=absin C=ab.故abc=1.答案:A3.在ABC中,若c=,b=1,B=30,则ABC的面积为()A.或 B.C.D.解析:由正弦定理,得sin C=,B=3
2、0,0C150,C=60或C=120.当C=60时,SABC=bcsin A=;当C=120时,SABC=bcsin A=.答案:B4.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为,则C等于()A.B.C.D.解析:由余弦定理,得SABC=abcos C,因为SABC=absin C,所以tan C=1,又C(0,),所以C=.故选C.答案:C5.(多选题)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=2,cos C=,面积S=14,则()A.a=7B.b=5C.B=45D.ABC的外接圆半径为2解析:在ABC中,由cos C=,得sin C=,因为S=
3、absin C=14,所以ab=35.由解得a=7,b=5.故AB正确;由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=72+52-275=32,得c=4.由余弦定理的推论,得cos B=,且0B180,得B=45,故C正确;由正弦定理=5=2R(R为ABC外接圆半径),得R=,故D不正确.答案:ABC6.在ABC中,BC=,AC=3,sin C=2sin A,则cos(B+C)=.解析:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin C=2sin A,AB=2BC=2,由余弦定理的推论,知cos A=,又A+B+C=,cos(B+C)=-cos A=-.答案:-7.在ABC中,内角A,B,C所
4、对的边分别为a,b,c,若2cos A(bcos C+ccos B)=a=,ABC的面积为3,则A=,b+c=.解析:由正弦定理,得2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A,即2cos Asin(B+C)=sin A,因为B+C=-A,所以2cos Asin A=sin A.因为在ABC中,sin A0,所以2cos A=1,即cos A=.因为0A0).由正弦定理,得.sin C=.ABAC,CB,C=60.由余弦定理,得(7x)2=(8x)2+152-28x15cos 60,则x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.即AB=21,AC=24或AB=35,AC
5、=40.在ABD中,AD=ABsin B=AB,AD=12或AD=20.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+a)cos(-B).(1)求B的大小;(2)若b=4,ABC的面积为,求a+c的值.解:(1)由正弦定理及bcos A=(2c+a)cos(-B),得sin Bcos A=(2sin C+sin A)(-cos B),即sin Bcos A+cos Bsin A=-2sin Ccos B,得sin(B+A)=-2sin Ccos B.B+A=-C,sin C=-2sin Ccos B,又sin C0,cos B=-.0B,B=.(2)由SAB
6、C=acsin B=ac,得ac=4.由余弦定理,得42=a2+c2-2accos,则16=(a+c)2+ac,得(a+c)2=12,解得a+c=2.二、B组1.已知钝角三角形ABC的面积为,AB=1,BC=,则AC等于()A.5B.C.2D.1解析:SABC=ABBCsin B=,sin B=.又B为ABC的内角,B=45或B=135.若B=45,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-2=1,此时ABC为直角三角形,不合题意,舍去;若B=135,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,即AC=.答案:B2.在ABC中,若
7、sin A=,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析:(方法一)sin A=,且A+B+C=,sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),sin Acos B+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+sin Acos B+cos Asin B,cos A(sin C+sin B)=0,又sin C+sin B0,cos A=0.0A0),(-1)x+x+(+1)x=2,解得x=1,a=-1,b=,c=+1,S=.答案:A4.如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,若BC=
8、5 m,AC=4 m,cosCAD=,AD=BD,则该土地的面积是 m2.解析:设CD=x m,则AD=BD=(5-x)m.在CAD中,由余弦定理,可知cosCAD=,解得x=1.即CD=1 m,AD=BD=4 m.在CAD中,由正弦定理,可知,则sin C=4.故SABC=ACBCsin C=45(m2).答案:5.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,ABC的面积为,则C=.解析:c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab+6,又由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,2ab-6=2abcos C,ab=,SABC=absin C=,cos
9、C=sin C,sin(C+60)=,又C为ABC的内角,C=60.答案:606.如图,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解:(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理,得PA2=3+-2cos 30=.故PA=.(2)设PBA=,则PCB=PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理,得,化简得cos =4sin .即tan =,故tanPBA=.7.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-a)与n=(cos A,sin B)垂直.(1)求A;(2)若B+=A,a=2,求ABC的面积.解:(1)mn,mn=bcos A-asin B=0,即bcos A=asin B.由正弦定理,得sin Bcos A=sin Asin B.sin B0,cos A=sin A,tan A=,又0A,A=.(2)由B+=A及(1),得B=,则C=-.由正弦定理,得c=2,即SABC=acsin B=22sin=2sin=2-1.故ABC的面积为 -1.
