1、第1课时平面向量及其应用课后训练巩固提升1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析:a=b=,故a-b=(-1,2).答案:D2.若点D在三角形ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为()A.B.C.D.解析:因为=4=r+s,所以)=r+s,所以r=,s=-,所以3r+s=.答案:C3.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|等于()A.B.2C.D.10解析:因为ac,所以2x-4=0,即x=2.因为bc,所以2y=-4,即y=-2
2、.故a=(2,1),b=(1,-2),则a+b=(3,-1),即|a+b|=.答案:C4.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()A.B.1+C.1D.解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C及C=60,得c2=a2+b2-ab,因为(a+b)2-c2=4,所以a2+b2-c2+2ab=4,得ab=.答案:A5.(多选题)在ABC中,若AB=3,AC=2,BC=,则()A.sin A=B.ABC的面积为C.D.BC边上的高线长为解析:在ABC中,cos A=.A中,sin A=,故A正确;B中,ABC的面积S=ABACs
3、in A=,故B正确;C中,=|cos A=32,故C正确;D中,由B项知ABC的面积S=,设BC边上的高线为hBC,则S=BChBC=,得hBC=,故D错误.答案:ABC6.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于.解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,故ab=-1+21=.答案:7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B=, c=.解析:由正弦定理,得,即sin B=.由余弦定理的推论,得cos A=,得,
4、即c=3.答案:38.已知菱形ABCD的边长为a,DAB=60,=2,则的值为.解析:(方法一:用基底表示)=2,.菱形ABCD的边长为a,DAB=60,|=|=a,=|cos 120=-a2.,=()()=()=-=-a2+a2+a2=-.(方法二:用坐标表示)以AC,BD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系(图略).则A,B,C,D(0,a),E.则=(0,-a).故=-.答案:-9.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin A=acos B.(1)求B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)bsin A=acos B,sin B
5、sin A=sin Acos B.A为ABC的内角,sin A0,tan B=,0B,B=.(2)sin C=2sin A,c=2a.由(1)知B=,b2=a2+c2-2accos B,a2+(2a)2-2a2a=9,a=,c=2.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos =-.因为0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,即|a+b|=.(3)因为的夹角=,所以ABC=-.又|=|a|=4,|=|b|=3,所以SABC=|sinABC=43=3.
