1、课时限时检测(五十二)抛物线(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难抛物线的定义及应用4,5,7抛物线的方程及几何性质1,2,38,9直线与抛物线的位置关系6,10抛物线的综合应用问题11,12一、选择题(每小题5分，共30分)1若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2 C4 D4【解析】因为椭圆1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，则p4.【答案】D2点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2【解析】将ya
2、x2化为x2y，当a0时，准线y，由已知得36，12，a.当a0时，准线y，由已知得6，a或a(舍)抛物线方程为y或y，故选D.【答案】D3(2013四川高考)抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2 B2 C. D1【解析】抛物线y28x的焦点为F(2,0)，则d1.故选D.【答案】D4已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)【解析】如图，点Q(2，1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x1的距离过Q作x1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求
3、点当y1时，由14x得x.所以点P的坐标为.【答案】A5(2013课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4【解析】设P(x0，y0)，则|PF|x04，x03，y4x04324，|y0|2.F(，0)，SPOF|OF|y0|22.【答案】C6(2013大纲全国卷)已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若0，则k()A. B. C. D2【解析】抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点
4、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_【解析】由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.【答案】
5、x212y8(2014济南一中月考)若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为3，延长P交抛物线于Q，若O为坐标原点，则SOPQ_.【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|PF|3，由抛物线定义知：点P到准线x1的距离为3，点P的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点P的纵坐标y2，P(2,2)，直线PF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知Q，SOPQ|OF|yPyQ|1|2|.【答案】9(2013江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【解析】由于x22py(p0)的
6、准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为，B，所以AB2 .由ABF为等边三角形，得ABp，解得p6.【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程【解】依题意，设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y，得x23
7、px0，所以x1x23p.将其代入得p2，所以所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程y24x.综上，所求抛物线方程为y24x或y24x.11(12分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值【解】(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2p9，p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4知4x25pxp20可化为x25x
8、40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，所以2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.12(13分)已知抛物线C：x22py(p0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线yx与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且a，b，对任意的直线l，ab是否为定值？若是，求出ab的值；否则，说明理由【解】(1)联立方程得x22px0，故O(0,0)，N(2p,2p)，|ON|2p，由2p4得p2，抛物线C的方程为x24y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为ykx1，则直线l与x轴交点为M，记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24kx40，(4k)2(16)16(k21)0，x1x24k，x1x24.由a，得a(x1,1y1)，a，同理可得b，ab1，对任意的直线l，ab为定值1.
