1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。86.2直线与平面垂直(一)木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直【问题1】用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？【问题2】为什么用“L”形木尺检查两次能判定木棒与板面垂直？【问题3】木工这种检查木棒与板面垂直的方法体现了什么样的数学定理？1直线与平面垂直的定义(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直
2、，记作l.(2)相关概念：(3)结论过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条；垂线段的长度叫做这个点到平面的距离直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直2直线与平面垂直的判定定理文字如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号la，lb，a，b，abPl图形如果直线l与平面内的无数条直线垂直，l与一定垂直吗？提示：不一定若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能
3、垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角；(2)相关概念：(3)范围：0，90，当0时，直线与平面平行或直线在平面内；当90时，直线与平面互相垂直1判定定理所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即通过线线垂直，实现线面垂直2对斜线和平面所成的角的定义的理解(1)斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角(2)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角1.如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与
4、该平面内的直线什么关系？2一条斜线与两个平行平面所成的角什么关系？3一条直线垂直于一个平面的垂线，那么这条直线与该平面什么关系？提示：1.垂直；2.相等；3.平行或在平面内观察教材第152页图8.615，直线BB1与平面A1B1CD所成角是多少？提示：45.1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC.平面OBC D平面ABC【解析】选C.因为OAOB，OAOC，OBOCO，OB平面OBC，OC平面OBC，所以OA平面OBC.2在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是()A.1 B2 C3 D6【解析】选B.仅有平面AC和
5、平面A1C1与直线AA1垂直基础类型一直线与平面垂直的判定(逻辑推理、直观想象)1(多选题)(2021南京高一检测)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()【解析】选BD.对于A，由ADCE，且AB与CE成45的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由于ABDE，ABCE，由线面垂直的判定定理可得AB平面CDE；对于C，AB与CE成60的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，有DEAB，同理可得ABCE，所以AB平面CDE.2如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，BAD60，PAD为正三角形，且E是AD的中点求证：BC平面PEB.【解析】连
6、接BD.因为E是正三角形PAD边AD的中点，则PEAD.因为四边形ABCD为菱形，BAD60，所以正三角形BAD中，BEAD，因为ADBC，所以BCPE，BCBE，又因为PEBEE所以BC平面PEB.1线线垂直和线面垂直的相互转化2证明线面垂直的方法在推线线垂直的过程中，若三角形的三边长符合勾股定理，则三角形是直角三角形，两直角边相互垂直，得到线线垂直即通过计算证明垂直关系基础类型二直线与平面所成的角(逻辑推理、数学运算)【典例】(2021济南高一检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B C D【解析】选D.过点
7、C1作C1OB1D1于点O，连接OB，由长方体的性质知，BB1平面A1B1C1D1，所以BB1C1O，因为B1D1BB1B1，B1D1，BB1平面BB1D1D，所以C1O平面BB1D1D，所以C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成角在RtB1C1D1中，B1C1C1D1B1D1C1O，即12C1O，所以C1O，在RtC1BO中，sin C1BO.所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明
8、：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算微提醒：求直线与平面所成角的关键是确定过直线上一点到平面的垂线在正三棱柱ABCA1B1C1中ABAA1，则B1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为()A. B C D【解析】选A.取AB中点D，连接CD，B1D，因为ABC是等边三角形，所以CDAB，因为BB1平面ABC，CD平面ABC所以BB1CD，又ABBB1B，AB平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，所以CD平面AA1B1B，所以CB1D为B1C与平面AA1B1B所成的角，设ABAA11，则B1C，B1D所以cos CB1D.【加固训练】
9、 (2021成都高一检测)如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，SA2，AC2，BC1，ACB90，则直线SC与平面SAB所成角的正弦值为()A B C D【解析】选A.在平面ABC内，过C作CDAB于D，连接SD，因为SA平面ABC，所以CDSA，所以CD面SAB，所以CSD就是直线SC与平面SAB所成的角，因为AC2，BC1，ACB90，所以AB.由ACBCABCD，可得CD，又SC2.所以sin CSD.综合类型直线与平面垂直判定定理的应用(逻辑推理、直观想象)折叠中的垂直问题【典例】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点现在沿AE，AF及EF把这个正
10、方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，证明：(1)AH平面EFH；(2)HF平面AEH【解析】如图，(1)由题意可得：AHHE，AHHF，HEHFH，所以AH平面EFH.(2)因为HFHE，HFAH，HEAHH，所以HF平面AHE.关于折叠问题中的垂直关系首先画出折叠后的直观图，利用折叠后及折叠前的垂直关系进行判断，注意折线同一侧的垂直关系折叠前后不变三角形的“心”【典例】三棱锥PABC中，PO平面ABC，O是垂足，若点P到AB，BC，AC的距离相等，则O是三角形ABC的_心【解析】由于点P到ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，易得点O到边AB，BC，AC的距离相等
11、，故点O是三角形ABC的内心答案：内关于三角形垂心、内心、外心的确定首先要明确三种心的定义及其性质，再通过垂直关系确定点满足的条件，对应相应的性质进行判断微提醒：三棱锥的三条棱相等时，顶点在底面的射影是底面的外心；三条侧棱两两垂直时，顶点在底面的射影是底面的垂心1直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是()Al和平面相互平行Bl和平面相互垂直Cl在平面内D不能确定【解析】选D.如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为()A.1 B2 C3 D4【
12、解析】选D.因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD，PABC，PACD.由BC平面PABBCPB由CD平面PADCDPD.所以PAB，PAD，PBC，PCD都是直角三角形3已知ABC，直线l，且lAB，lBC，则下列关系一定成立的是()AlAC Bl与AC异面ClAC D以上三种情况皆有可能【解析】选A.因为lAB，lBC，ABBCB，AB，BC平面ABC，所以l平面ABC，因为AC平面ABC，所以lAC，故A正确，C错误，D错误；l与AC相交或异面，故B错误4如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为_【解析】如图，连接EB，由BB1平面ABCD，知FEB即直线EF与平面ABCD所成的角在RtFBE中，BF1，BE，则tan FEB.答案：5如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边则能保证该直线与平面垂直的序号有_【解析】三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是.答案：关闭Word文档返回原板块