1、第 5 课时 三角函数 课后训练巩固提升A 组1.函数 f(x)=15sin(+3)+cos(-6)的最大值为()A.65B.1C.35D.15解析:由诱导公式可得 cos(-6)=cos2-(+3)=sin(+3),故 f(x)=15sin(+3)+sin(+3)=65sin(+3).所以函数 f(x)的最大值为65.答案:A2.若 sin(2+)0,sin(5-)0,sin(5-)0,sin0,根据三角函数的定义 sin=0.y0.故角 在第四象限,故选 D.答案:D3.已知点 A 的坐标为(43,1),将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转3至 OB,则点 B 的纵坐标为()A.332B.
2、532C.112D.132解析:由题意可知 OA=OB=7.设 OA 与 x 轴所成的角为,可知 sin=17,cos=437.所以 sin(+3)=sincos3+cossin3=17 12+437 32=1314.所以点 B 的纵坐标为 OBsin(+3)=132.答案:D4.已知 sin+cos=63,sin-cos=1,则 sin(-)等于()A.-112B.-16C.16D.112解析:由 sin+cos=63 的等式两边平方,得 sin2+cos2+2sincos=23.把 sin-cos=1 的两边平方,得 sin2+cos2-2sincos=1.由+得 sin(-)=-16.故
3、选 B.答案:B5.已知 tan(4+)=3,则 sin(3-2)-2cos2 等于()A.-1B.-45C.45D.-34解析:tan(4+)=tan+11-tan=3,tan=12,sin(3-2)-2cos2=sin2-2cos2=sin2-2cos21=2sincos-2cos2sin2+cos2=2tan-2tan2+1=-45.答案:B6.已知 cos x=34,则 cos 2x=.解析:因为 cosx=34,所以 cos2x=2cos2x-1=2(34)2-1=18.答案:187.将函数 y=cos 4x 的图象向右平移8个单位长度,所得图象对应的函数的解析式是 .解析:函数 y
4、=cos4x 的图象向左平移8个单位长度得到 y=cos4(-8)的图象,y=cos(4-2)=sin4x.答案:y=sin 4x8.给出下列结论:函数 y=sin(k-x)(kZ)为奇函数;函数 y=tan(2+6)的图象关于点(12,0)对称;函数 y=cos(2+3)的图象的一条对称轴为直线 x=-23;若 tan(-x)=2,则 sin2x=15.其中正确结论的序号为 .解析:y=sin(k-x)=(-1)k-1sinx 是奇函数,正确;tan(2 12+6)=30,错误;cos2 (-23)+3=-1,正确;由 tan(-x)=-tanx=2,可知 tanx=-2.故 sin2x=s
5、in2sin2+cos2=tan2tan2+1=45,错误.综上可知正确结论的序号为.答案:9.已知(2,),且 sin=13.(1)求 sin 2 的值;(2)若 sin(+)=-35,(0,2),求 sin 的值.解:(1)(2,),且 sin=13,cos=-223.sin2=2sincos=-429.(2)(2,),(0,2),+(2,32),又 sin(+)=-35,cos(+)=-45.sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin=-35 (-223)(-45)13=4+6215.10.已知函数 f(x)=3cos(2-3)-2sin xcos x.(1)求 f(
6、x)的最小正周期;(2)求证:当 x-4,4时,f(x)-12.(1)解:因为 f(x)=32 cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32 cos2x=sin(2+3),所以 f(x)的最小正周期 T=22=.(2)证明:因为-4x4,所以-62x+3 56.所以 sin(2+3)sin(-6)=-12.所以当 x-4,4时,f(x)-12.B 组1.若函数 y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin(2-6)B.y=2sin(2-3)C.y=2sin(2+6)D.y=2sin(2+3)解析:由题图知,A=2,周期 T=23-(-6)=,所以=2=2,y=
7、2sin(2x+).方法一:因为函数图象过点(3,2),所以 2=2sin(2 3+).所以23+=2k+2(kZ).令 k=0,得=-6,所以 y=2sin(2-6),故选 A.方法二:因为函数图象过点(-6,-2),所以-2=2sin2 (-6)+,所以 2(-6)+=2k-2,kZ,即=2k-6,kZ.令 k=0,得=-6,所以 y=2sin(2-6).故选 A.答案:A2.如图,在扇形 OAB 中,半径 OA=4,弦长 AB=4,则该扇形的面积为()A.163B.83C.8D.43解析:在扇形 OAB 中,半径 OA=4,弦长 AB=4,故AOB=3.所以该扇形的面积为 S 扇形 OA
8、B=12 316=83.答案:B3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移周期的112,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是()A.(24,0)B.(-6,0)C.(6,0)D.(12,0)解析:由已知周期 T=.故可知函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移12个单位长度,得到函数 g(x)=sin2(-12)=sin(2-6)的图象,令 2x-6=k,kZ,解得 x=12+2,kZ.故 y=g(x)的一个对称中心是(12,0).答案:D4.4cos 50-tan 40=()A.2B.2+32C.3D.22-1解析:4cos50-tan40=4sin40-ta
9、n40=4sin40cos40-sin40cos40=2sin80-sin(30+10)cos40=2cos10-12cos10-32 sin10cos40=32cos10-32 sin10cos40=3cos(30+10)cos40=3.答案:C5.将函数 f(x)=sin 2xcos+cos 2xsin(|2)的图象向左平移3个单位长度后的图象关于原点对称,则函数 f(x)在区间0,2上的最小值为 .解析:由已知 f(x)=sin(2x+)(|2)的图象向左平移3个单位长度后,得到函数y=sin 2 x+3+=sin(2+23+)的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得23+=k,kZ,解
10、得=3+k,kZ,由|a-34.所以 a 的最小值是-34.答案:-347.已知函数 f(x)=2cos(2-)sin x-(sin x-cos x)2.(1)若 x0,2,求函数 f(x)的值域;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移8个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)的图象的对称中心.解:(1)f(x)=2cos(2-)sinx-(sinx-cosx)2=2sin2x-sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x=2sin(2-4).x0,
11、2,-42x-4 34.-12sin(2-4)2.函数 f(x)的值域是-1,2.(2)由图象变换可知g(x)=2sin(+8)-4=2sin(-8).由 x-8=k,kZ,得 x=8+k,kZ.所以所求对称中心为(8+,0)(kZ).8.若函数 f(x)=23sin xcos x+2cos2x+m-1 在区间0,2上的最小值为-2.(1)求 m 的值及 f(x)图象的对称轴;(2)求 f(x)的单调递增区间.解:(1)由已知得 f(x)=3sin2x+cos2x+m=2sin 2x+6+m.x0,2,62x+6 76,当 2x+6=76,即 x=2时,f(x)min=2(-12)+m=-2.m=-1.f(x)=2sin(2+6)-1.由 2x+6=k+2,kZ,解得 x=2+6,kZ.f(x)图象的对称轴为直线 x=2+6,kZ.(2)由-2+2k2x+6 2+2k,kZ.可得-3+kx6+k,kZ.故 f(x)的单调递增区间为-3+,6+,kZ.