1、湖南省茶陵县第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题一、 选择题：(每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1设集合，则（ ）ABCD2抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD3已知复数满足，则对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4的展开式中的系数为（ ）ABC40D805已知，则（ ）ABCD6若双曲线的右焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD7已知向量，的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）ABCD8曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD二、选择题：（每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得
2、5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9设为平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则/10德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，被称为狄利克雷函数以下说法正确的是（ ）A的值域是 B，都有C存在非零实数，使得 D对任意，都有11已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A 函数的图象关于直线对称 B B函数的图象关于点对称C函数在区间上单调递增 D函数与的图象的所有交点的横坐标之和为12如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥
3、的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）A棱的高与底边长的比为B侧棱与底面所成的角为C棱锥的高与底面边长的比为D侧棱与底面所成的角为三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13直线被圆裁得的弦长为 14在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称若，则 ， 15已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为2的正方形，且平面若四棱锥的体积为，则球的表面积为 16定义在上的函数满足，当时，则函数的零点个数为 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题10分）已知是等差数列，且公差，是等比数列，且，（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列
4、的前项和18（本题12分）中，内角，的对边分别为，已知（1）求证：；（2）若，的面积为，求的周长19（本题12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，与交于点，（1）求证：平面平面；（2）若，为的中点，求二面角的大小20（本题12分）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，且点在轴的上方，过作的垂线交于点，求与的面积之比21（本题12分）全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%，初中生为55.22%，高中生为70.34%影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素学生
5、长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记表示抽到“
6、好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望22（本题12分）已知函数，其中（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对于任意的，有，求实数的取值范围茶陵三中2021届高三第一次月考数学参考答案一、 选择题：1 B 2A 3D 4D 5B 6D 7A 8C 二、 选择题：9CD 10ACD 11BCD 12AB三、填空题：本题共4小题，每小题4分，其中15小题每空2分，共16分134 14， 15 165四、解答题：共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）设等比数列的公比为，根据题意，得， 解得，或（舍）所以，（2）由（1）知，所以18解：（1）（方法一）因为，由正弦定理得，即 又因
7、为， 所以又， 所以或（舍去）， 所以（方法二）因为，由余弦定理，得，整理得， 所以， 所以（2）因为，由（1）知，又的面积为， 所以又，所以， 所以由余弦定理，得，所以， 所以的周长为19（1）证明：连结，因为底面为菱形，所以为的中点又，所以，又，平面，所以平面又平面所以平面平面（2）方法一：连结，因为，且为的中点，所以又，平面，所以平面因为平面所以，又，所以是二面角的平面角由题意，在中，所以，因为，所以所以二面角的大小为方法二：因为，且为的中点，所以又因为，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，所以取因为平面，所以取平面的法向量为于是
8、，因为，所以，所以二面角的大小为20解：（1）设椭圆的方程为，由题意，得，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）因为为椭圆的右焦点，所以点的坐标为由，解得，或因此，的坐标分别为，所以直线的斜率为又因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即直线的方程为，即由，解得，点的纵坐标为又的面积为，的面积为，所以，所以与的面积之比为21解：（1）由题意知众数为4.6和4.7，中位数为（2）设事件，表示“所选3名学生中有名是好视力”，设事件表示“至少有2名学生是好视力”则因为这16名学生中是“好视力”的频率为，所以该地区学生中是“好视力”的概率为由于该地区学生人数较多，故近似服从二项分布，所以的分布列为012
9、3的数学期望为22解：（1）函数的定义域为，若，则当时，所以函数在区间上单调递减；当时，所以函数在区间上单调递增若，则当或时，所以函数在区间，上均单调递增；当时，所以函数在区间上单调递减若，则当时，所以函数在区间上单调递增若，则当或时，所以函数在区间，上均单调递增；当时，所以函数在区间上单调递减综上所述，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减（2）不妨设，则可化为令，则函数在区间上单调递增所以在区间上恒成立即在区间上恒成立（*）因为，所以，所以，要使（*）成立，只需，解得故所求实数的取值范围为
