1、热点05 一元二次方程【命题趋势】1用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程2一元二次方程根的判别式，有两种考查方式：给出一元二次方程，求方程的根的情况；给出带有参数的一元二次方程和根的情况，求参数的取值范围3一元二次方程的根与系数的关系，主要考查方式：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；不解方程求关于根的式子的值，如求等等；判断两根的符号求作新方程；由给出的两根满足的条件，确定字母的取值4列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题比较广泛（常见的题型是增长率问题）【满分技巧】一、一元二次方程根的情况1一元二次方程
2、有实数根的前提是b24ac0利用一元二次方程根的判别式（=b24ac）判断方程的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0，所以方程有两个不相等的实数根故选A6小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x=1D有两个相等的实数根【答案】A【解析】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a0）时，只抄对了a=1，b=4
3、，解出其中一个根是x=1，（1）24+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b24ac=16415=40，则原方程的根的情况是不存在实数根故选A7扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为x m，则可列方程为A（30x）（20x）=2030B（302x）（20x）=2030C30x+220x=2030D（302x）（20x）=2030【答案】D【解析】设花带的宽度为x m，则可列方程为（302x）（20x）=2030，故选D8若a、b是关于x的一元二次方程x26x+n+1=0的两根，且等腰三角
4、形三边长分别为a、b、4，则n的值为A8B7C8或7D9或8【答案】C【解析】等腰三角形三边长分别为a、b、4，a=b，或a、b中有一个数为4当a=b时，有b24ac=（6）24（n+1）=0，解得：n=8；当a、b中有一个数为4时，有4264+n+1=0，解得：n=7，故选C9据池州市统计局发布，2018年我市全年生产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，若今、明两年年增长率保持不变，则2020年全年生产总值为A（1+5.7%2）684.9亿元B（1+5.7%）2684.9亿元C2（1+5.7%）684.9亿元D25.7%（1+5.7%）684.9亿元【答案】B【解析】2018年我市全年生
5、产总值684.9亿元，比上年增长5.7%，且今、明两年年增长率保持不变，2020年的生产总值为（1+5.7%）2684.9亿元，故选B10某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛如果全队有名队员，根据题意下列方程正确的是ABCD【答案】C【解析】设有x名队员，每个队员都要赛（x1）场，但两人之间只有一场比赛，故，故选C二、填空题11一元二次方程x（x+5）=x+5的解为_【答案】x1=5，x2=1【解析】方程整理得：x（x+5）（x+5）=0，分解因式得：（x+5）（x1）=0，解得：x1=5，x2=1，故答案为：x1=5，x2=112一元二次方程x2+2x
6、4=0的解是_【答案】【解析】x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，则x+1=，即x=1，故答案为：113已知关于x的方程x2+（k24）x+k1=0的两实数根互为相反数，则k=_【答案】2【解析】设方程的两根分别为x1，x2，x2+（k24）x+k1=0的两实数根互为相反数，x1+x2，=（k24）=0，解得k=2，当k=2，方程变为：x2+1=0，=40，方程有两个不相等的实数根；k=2故答案为：214若x1，x2分别是一元二次方程x2+2x1=0的两个实数根，则的值是_【答案】2【解析】x1，x2分别是一元二次方程x2+2x1=0的两个实数根，x1+x2=2，x1x
7、2=1，=2故答案为：215已知关于x的方程x2+mx3=0的两个根为x1、x2，若x1+x2=2x1x2，则m=_【答案】6【解析】x1，x2是方程x2+mx3=0的两根，x1+x2=m，x1x2=3，则m=2（3），解得：m=6，故答案为：616某商品每件元，经过两次降价后，售价为元，若每次降价的百分比相同，则第一次降价后的售价为每件_元【答案】【解析】设每次降价的百分率为x，根据题意得：300（1x）=243，解得：x=0.1=10%，x=1.9（不合题意，舍去）每次降价的百分率为10%第一次降价后的售价为300（3000.1）=270（元），故答案为：270三、解答题17解下列一元二次
8、方程：（1）x24x5=0；（2）（x3）2=2（x3）【解析】（1）x24x5=0，x24x=5，则x24x+4=5+4，即（x2）2=9，所以x1=5，x2=1（2）（x3）22（x3）=0，（x3）（x32）=0，x3=0或x32=0，所以x1=3，x2=518已知于x的元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值【解析】（1）关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得a2（2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5，
9、x1，x2满足x12+x22x1x230，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a，a为整数，a的值为1，0，119对于实数m、n，定义一种运算“”为：mn=mn+n（1）求25与2（5）的值；（2）如果关于x的方程x（ax）=有两个相等的实数根，求实数a的值【解析】（1）25=25+5=152（5）=2（5）+（5）=15（2）x（ax）=x（a+1）x=x（x+1）（a+1）=，整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0关于x的方程x（ax）=有两个相等的实数根，a=020某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为
10、3：2扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【解析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x2x100+30（3x2x5040）=642000，解得x1=30，x2=30（舍去）所以3x=90，2x=60答：扩充后广场的长为90m，宽为60m21习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由【解析】（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608，化简得：4x2+12x7=0，（2x1）（2x+7）=0，x=0.5=50%或x=3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%（2）进馆人次的月平均增长率为50%，第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128=432500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次