1、2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标-2.3.2两点间的距离公式课后训练巩固提升A组1.已知ABC的三个顶点是A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC的周长为()A.2B.3+2C.6+3D.6+解析:|AB|=3,|BC|=3,|AC|=3,ABC的周长为6+3.答案:C2.当0k时,直线l1:kx-y-k+1=0与直线l2:ky-x-2k=0的交点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由当0k时,0,交点在第二象限.答案:B3.已知ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.
2、直角三角形D.斜三角形解析:|AC|=|a|,|BC|=|a|,|AB|=|a+a|=2|a|,|AC|2+|BC|2=|AB|2,ABC为直角三角形.答案:C4.若直线ax+by-11=0与直线3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和直线x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为()A.-3,-4B.3,4C.4,3D.-4,-3解析:由由题意得解得答案:B5.已知ABC的三个顶点坐标为A(7,8),B(10,4),C(2,-4),则边BC上的中线AM的长为.解析:线段BC的中点为M(6,0),已知点A(7,8),所以,|AM|=.答案:6.已知直线l1的方程为Ax+3y+C
3、=0,直线l2的方程为2x-3y+4=0,若l1,l2的交点在y轴上,则C的值为.解析:由题意得直线l2与y轴的交点坐标是,代入直线l1的方程得A0+3+C=0,解得C=-4.答案:-47.无论m为何值,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过一定点P,则点P的坐标为.解析:直线l的方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0.由因此,点P的坐标为(3,1).答案:(3,1)8.直线l经过两条直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.解:解方程组得l1与l2的交点
4、为(-2,2).直线l3的斜率为-,且ll3,直线l的斜率k=-.故直线l的方程为y-2=-(x+2),即4x+3y+2=0.经检验,直线l与l3平行.9.已知ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)判断ABC的形状;(2)求ABC的面积.解:(1)如图,由两点间的距离公式,得|AB|=2,|AC|=,|BC|=5.因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以ABC是以A为直角顶点的直角三角形.(2)由于ABC是以A为直角顶点的直角三角形,故SABC=|AB|AC|=5.B组1.已知点A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的
5、点P的坐标是()A.(4,0)B.(5,0)C.(-5,0)D.(-4,0)解析:作点A关于x轴的对称点A(1,-4),连接AB,则|AP|+|BP|的最小值即为线段AB的长度.kAB=1,直线AB的方程为y+4=x-1,即x-y-5=0.令y=0,得x=5.使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标为(5,0).故选B.答案:B2.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是()A.2B.4C.5D.解析:由中点坐标公式,得=1,=y,解得x=4,y=1.所以点P的坐标为(4,1),则点P(x,y)到原点的距离d=.答案:D3.若三条直线l1:a
6、x+2y+6=0,l2:x+y-4=0,l3:2x-y+1=0相交于一点,则实数a=()A.-12B.-10C.10D.12解析:由直线l2的方程x+y-4=0,l3的方程2x-y+1=0,可得交点坐标为(1,3),代入直线l1的方程ax+2y+6=0,得a=-12.故选A.答案:A4.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m-n+p的值为()A.-4B.0C.16D.20解析:由两条直线互相垂直,得-=-1,解得m=10.已知垂足坐标为(1,p),代入直线方程10x+4y-2=0,得p=-2.将(1,-2)代入直线方程2x-5y+n=0,得n=-
7、12.故m-n+p=20.答案:D5.两条直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=.解析:直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B,|AB|=.答案:6.已知点M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为.解析:点P在直线2x-y-1=0上,可设点P的坐标为(a,2a-1).|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a+1)2+(2a-1)2=10a2-8a+4.|PM|2+|PN|2的最小值为.答案:7.过点M(0,1)作直线,使它被两
8、条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M所平分,求此直线的方程.解:过点M,且与x轴垂直的直线为x=0,显然不符合题意.故可设所求直线的方程为y=kx+1.因为与已知直线l1,l2分别交于A,B两点,所以k,且k-2.联立方程,得由解得点A的横坐标xA=,由解得点B的横坐标xB=.因为点M平分线段AB,所以xA+xB=2xM,即=0.解得k=-,故所求直线的方程为x+4y-4=0.8.在x轴上求一点P,使得(1)P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到点A(4,1),C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图,(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|=5.直线BA的斜率kBA=-,直线BA的方程为y=-x+4.令y=0,得x=,即P.故距离之差最大值为5,此时点P的坐标为.(2)作点A关于x轴的对称点A,则A(4,-1),连接CA,则|CA|为所求最小值,直线CA与x轴交点P为所求点.由两点间的距离公式,得|CA|=.直线CA的斜率kCA=-5,直线CA的方程为y-4=-5(x-3).令y=0,得x=,即P.故距离之和最小值为,此时点P的坐标为.