1、江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考文科数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合Ax|x240，Bx|2xa0，ABx|2x1，则实数aA.4 B.2 C.2 D.42.已知复数z满足z(1i)1i(i为虚数单位)，则z的虚部为A.i B.i C.1 D.13.若单位向量、夹角为60，2，则|A.4 B.2 C.3 D.14.设a，bR，则ab1是ab0，b0)的一条渐近线被圆x2y24y0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为A.2 B.3 C. D.8.已知(0，)，且3
2、cos28cos5，则sinA. B. C. D.9.若a，b为正实数，且，则ab的最小值为A. B. C.2 D.410.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的延长线交抛物的准线l于点C，若|BC|2，|FB|1，则|AB|A.2 B.3 C.4 D.511.已知三棱锥ABCD中，侧面ABC底面BCD，ABC是边长为3的正三角形，BCD是直角三角形，且BCD90，CD2，则此三棱锥外接球的体积等于A B. C.16 D.3212.已知f(x)2t(lnxx)恰有一个极值点为1，则t的取值范围是A.(， B.(， C.0， D.(，二、填空题：本题共4小题
3、，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件，则zx3y的最大值是 。14.曲线f(x)2sinx在x处的切线与直线axy10垂直，则a 。15.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinA2sinB2cosAsinC，ab3，ABC的面积是，则边长c 。16.四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，PE3DE，若且满足BF/平面ACE，则 。三、解答题：共70分，第1721题每题均为12分，选做题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a329a2a6；(1)求数列an的通项公式，(
4、2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和。18.如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，ABBC，CD2AB，PA平面ABCD，E为PD的中点。 (1)证明：AE/平面PBC；(2)若PACD2，求点E到平面PBC的距离。19.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下：(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高
5、一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60，70)和80，90)的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率；(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a60，70)，b70，80)，c80，90)，当三人的体育成绩方差S2最小时，写出a，b，c的一组值(不要求证明)。注：，其中20.已知椭圆C：的离心率为，点M(a，0)，N(0，b)，O(0，0)，且OMN的面积为1。 (1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B是x轴上不同的两点，点A(异于坐标原点)在椭圆C内，点B在
6、椭圆外，若过点B作斜率不为0的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且满足PABQAB180，证明：点A，B的横坐标之积为定值。21.已知函数f(x)，a0。(I)求证：曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程与实数a的取值无关；(II)若f(x)2对x1，1恒成立，求实数a的取值范围。(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修44：坐标系与参数方程(10分)已知在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为(3cossin)22。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，(t为参数)。(1)求曲
7、线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；(2)设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求AB的值。23.选修45：不等式选讲(10分)已知函数f(x)|2x1|x2|。(1)求不等式f(x)4的解集；(2)若f(x)的最小值为m，且实数a，b满足3a4b2m，求(a2)2(b1)2的最小值。五市九校第一次联考文科数学数学答案一、 选择题 1- -5 BDCAB 610 BDABC 11-12 AD 二、填空题 14.1 15. 16. 三、解答题17.（满分12分）解(1)设等比数的公比为，由得所以由已知条件得，所以（2分）由得，解(4分)故数列an的通项公式为（6分）(2)由(1)可得，（8分）
8、故，（10分）所以故数列的前n项和为（12分）18.（满分12分）解：（1）取的中点，连接，.因为为的中点，所以（1分）因为，所以.（2分）又，所以四边形是矩形，所以.（3分）因为，所以平面.（5分）因为，所以.（6分）（2）因为为的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的.（7分）因为，所以.所以.所以.（9分）在中，所以.（10分）设点到平面的距离为，则，解得.（11分）所以点到平面的距离是.(12分)（方法二）所以点到平面的距离是点到平面距离因为，所以.所以.(9分)在中，所以.（10分设点到平面的距离为，则，解得.（11分）所以点到平面的距离是.(12分)19（满分12分）（1）750
9、；（2）；（3）（或）【分析】(1)由折线图求得这40人中70分及其以上的人数，作为全年级的“体育良好”学生的频率的估计值，进行估计(2) 先编号，再利用列举计数，可求得概率(3)根据方差的意义，的数据越集中，方差越小，于是分别取其给定范围内的最大值和最小值, 即将看做自变量，注意到是整数，对称轴为,当b取最接近74.5的两个整数值时方差取得最小值【详解】（1） 体育成绩大于或等于分的学生有人（2分），人.（.3分）（2）记体育成绩在60,70)的2名学生编号为1，2，体育成绩在80,90)的3名学生编号为3，4，5，从中任取3人，有123，124，125，134，135，145，234，23
10、5，245，345，共10种不同的情况，.（.6分）每种情况都是等可能的，至少有1人为非“体育良好”，即“至少有1人体育成绩在”，记作事件，只有345是不含1、2的，有9种不同的情况，(.8分）.（9分）（3） （或）（12分）20（满分12分）.解：（1）由题意可得：a24，b21，所以椭圆C的标准方程：y21；（2分）（2）证明：作点P关于x轴的对称点，由椭圆的对称性可知，点在椭圆上，且PABAB，QBABA，因为PAB+QAB180所以AB+QAB180，所以，A，Q三点共线，（4分）由题意可知直线Q不与x轴平行或重合，设直线Q的方程为：xty+m，（mt0），设，联立直线与椭圆的方程：
11、，消x可得，（6分）则有y1+y2，y1y2，（7分）因为QBABA，所以，即，所以，即（8分）即，解得，（10分）因为，所以，故点A，B横坐标之积为定值4（12分）另解：21.（满分12分）解（1）由，（1分）则，（2分），由，（3分)所以在点处的切线方程为，（4分）所以在点处的切线方程与实数的取值无关，即证.（2）对恒成立，即对恒成（5分）对恒成立，当时，恒成立，（6分）当时，对恒成立，（8分）令，（10分），令，解得，（11分）在，上单调递增，在上单调递减，故实数取值范围为.（12分）22（满分10分）.解（1）曲线的直角坐标方程为，即.（2分）曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得的普通方程为.（4分）（2）曲线的参数方程可写为（为参数），（6分）代入曲线的普通方程，得，整理得.（7分）设，所对应的参数分别为，则（8分）所以.（10分）（方法二）圆心到直线的距离为7分故弦长10分23（满分10分）.解（1）（2分）由，可得 或 或 （3分）解得或或.（4分）所以不等式的解集为.（5分）（2）由（）易求得，即.（6分）所以，即.（7分）因为点到直线的距离，（9分）所以的最小值为.（10分）
