1、课下能力提升(十六)学业水平达标练题组1用数学归纳法证明等式1已知f(n)，则()Af(n)共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：选D结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n1个，且f(2).2用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n21)2(n222)n(n2n2).证明：当n1时，左边1210，右边0，所以等式成立假设当nk(kN*)时等式成立，即(k21)2(k222)k(k2k2).那么当nk1时，有(k1)212(k1)
2、222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k21)2(k222)k(k2k2)(2k1)(12k)(2k1)k(k1)k(k1)2(2k1)k(k1)(k23k2)，所以当nk1时等式成立由知，对任意nN*等式成立题组2用数学归纳法证明不等式3用数学归纳法证明12(n2)(nN*)时，第一步需要证明()A12B12C12D12解析：选C第一步验证n2时是否成立，即证明12.4某同学回答“用数学归纳法证明n1(nN*)”的过程如下：证明：当n1时，显然命题是正确的；假设当nk(k1，kN*)时，有k1，那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时命题是正确的由可知对于nN*，命题都是正确
3、的以上证法是错误的，错误在于()A从k到k1的推理过程没有使用假设B假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D当n1时，验证过程不具体解析：选A分析证明过程中的可知，从k到k1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.5用数学归纳法证明：11)证明：(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立题组3归纳猜想证明6k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)(k3，kN*)为()Af(k)k1 Bf(k)k1
4、Cf(k)k Df(k)k2解析：选A三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(020(31)；五棱柱有5个对角面(232(41)；六棱柱有9个对角面(545(51)猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面故选A.7设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解：(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根S11a11，所以(a11)2a1(a11)a10，解得a1，当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，所以2a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2
5、an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1 a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.所以当nk1时，结论也成立由可知，Sn的通项公式为Sn(nN*)能力提升综合练1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()A1 B2 C3 D4解析：选C边数最少的凸n边形为三角形，故n03.2某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以
6、推得()A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立解析：选A因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立3用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN*)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：选D当nk时，等式左边12k2，当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2，故选D.4已知命题12222n12n1及其证明：(1)当n1时，左边1，右边2111，所以等式成立(2)假设nk(k
7、1，kN*)时等式成立，即12222k12k1成立，则当nk1时，12222k12k2k11，所以nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立判断以上评述()A命题、推理都正确 B命题正确、推理不正确C命题不正确、推理正确 D命题、推理都不正确解析：选B推理不正确，错在证明nk1时，没有用到假设nk的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有_(填序号)假设当nk(kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立；假设当nk(k是正奇数)时命题成立，证明当nk2时命题也成立；假设当n2k
8、1(kN*)时命题成立，证明当n2k时命题也成立假设当n2k1(kN*)时命题成立，证明当n2k1时命题也成立解析：因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当nk(k是正奇数)时命题成立，此时nk2也为正奇数；也可为：假设当n2k1(kN*)时命题成立，此时n2k1也为正奇数故正确答案：6已知123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，则a_，b_.解析：123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，当n1,2时有即解得答案：7用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立证明：(1)当n2时，左边1，右边，左边右边，所以不等式成立(2)假设nk(k2且kN
9、*)时不等式成立，即，那么，当nk1时，所以，当nk1时不等式也成立由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立8将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解：由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134; 当n4时，S1S3S5S725644，猜想：S1S3S5S2n1n4.证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4.那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任何nN*，S1S3S5S2n1n4都成立.