1、陕西省宝鸡市渭滨区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1. 在等差数列中，则（ ）A. 25B. 28C. 31D. 34B分析：根据，利用“”法求解.解答：因为在等差数列中，所以，解得，所以，故选：B2. 下列判断正确的是（ ）A. 命题，则为真命题B. 命题“”是命题“”的必要不充分条件C. 命题“对于任意的实数，使得”的否定是“存在一个实数，使得”D. 若命题“”为假命题，则命题，都是假命题A分析：根据复合命题真假的判断方法可以判断AD；举出反例可以判断B；根据全称命题的否定是特称命题可以判断C.解答：对于A，命题
2、是真命题，是真命题，则为真命题，正确；对于B， 当时， ， 命题“”不是命题“”的必要不充分条件，错误；对于C，命题“对于任意的实数，使得”的否定是“存在一个实数，使得”，错误；对于D，若命题“”为假命题，则命题，都是假命题或者两个命题中有一个是假命题一个是真命题，错误；故选：A3. 已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）A. B. C. D. D分析：设弦与抛物线的交点为，则，根据弦的中点是，利用点差法求解.解答：设弦与抛物线的交点为，则，两式相减得：，所以，因为弦的中点是，所以，则，所以这条弦所在直线的方程为，即，故选：D4. 设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若则
3、（ ）A. B. C. D. B分析：本题首先可令，得出，然后通过等差数列的性质得出以及，代入中，即可得出结果.解答：因为，所以，因为等差数列前项和，是等差数列前项和，所以，则，故选：B点拨：关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前项和公式以及等差中项的应用，若等差数列前项和为，则，当时，考查化归与转化思想，是中档题.5. 在中，分别为的内角的对边，且，则下列结论一定成立的是（ ）A. 成等差数列B. 成等差数列C. 成等差数列D. 成等差数列A分析：根据两角和的正弦公式及正弦定理将角化边，再结合等差数列的性质即可判断.解答：解：，成等差数列.故选：点拨：本题考查两角和
4、的正弦公式及正弦定理的应用，属于基础题.6. 的内角的对边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. C分析：根据余弦定理求解即可.解答：由题意得，故选：C7. 已知实数成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. 或2D. 或B分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=3当m=3时，圆锥曲线是椭圆，不合题意；当m=3时，圆锥曲线是双曲线，由此即可求出离心率解答：1，m，9构成一个等比数列，m2=19，则m=3当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，不符合题意；当m=3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故，则离心率为故选：B8. 已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交双曲线于，两点，若
5、，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C. D. A分析：将代入双曲线可得，由题可得是等腰直角三角形，则，即，由此即可求出离心率.解答：轴，是等腰直角三角形，将代入双曲线可得，则，则由可得，即，即，两边除以得，解得（舍负），.故选：A点拨：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是得出是等腰直角三角形，得出.9. 已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. 4B. C. D. 9C分析：由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值解答：因为各项均为正数的等比数列满足，可得，即解得或（舍去）， =当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立故 的最小值等于.故选：C点拨
6、：方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.10. 已知向量，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）A. B. C. D. A分析：根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果.解答：因为向量，与夹角的余弦值为，所以，整理得(其中)，解得（负值舍去）.故选：A.11. 椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线过左焦点且交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆离心率的取值范围为，则
7、线段的长度的取值范围是（ ）A. B. C. D. C分析：由题可求得，即可得出，再根据离心率范围即可求出.解答：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，又,，则，即线段的长度的取值范围是.故选：C.点拨：本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出可求解.12. 已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（）A. B. C. D. B分析：根据向量共面的基本定理当时即可求解.解答：，又是空间任意一点，、四点满足任三点均不共线，但四点共面，解得故选：B点拨：方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此
8、结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_分析：由题可得，可求解.解答：是的充分不必要条件，需满足，解得，综上，的取值范围是.故答案为：.点拨：结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含14. 若实数满足约束条件，则的最大值是_
9、.分析：根据可行域，画出图象，根据，设，根据t的几何意义，数形结合，即可求得答案.解答：画出可行域表示的区域，如图所示：，设，则t表示可行域内的点（x,y）与原点（0,0）连线的斜率，设A为与的交点，所以，由图象可得，当可行域内点A与原点连线的斜率最大，此时，所以的最大值为，故答案为：15. 直线交椭圆：于，两点，设中点为，直线的斜率等于，为坐标原点，则椭圆的离心率_.分析：设，中点为，则，根据相交弦的中点为P，利用点差法求解.解答：设，中点为，则，两式相减得：，即，即，因为，所以，所以，故答案为：16. 在空间直角坐标系中，已知，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是_.分析：设，0，则，由，
10、知所以，由此能求出其最小值解答：设，0，0，1，-，即，（当时取最小值）故答案为：点拨：方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.三、解答题（共5个小题，每小题14分，共70分）17. （1）当时，求的最大值；（2）设，求函数的最小值.（1）；（2）.分析：（1），利用基本不等式求解.（2）设，,利用基本不等式求解.解答：（1），当且仅当，即时等号成立，的最大值为.（2）由题意，设，则，则，当且仅当时，即时，即时取等号，所以函数的最小值为.18. 已知数列的前项和为，已知对任意的都有.（1）求数列的通项公式；
11、（2）记，求数列的前项和.（1）；（2）.分析：（1）由，当时求解即可；（2）由（1）可得，代入中化简可得，由裂项相消法求和即可.解答：（1）当时， ，当时，满足上式，所以（2）由（1）得 ， 19. 中内角所对的边分别为，.（1）求角； （2）若的周长为，外接圆半径为，求的面积.（1）；（2）.分析：(1)将，转化为，利用两角和与差的余弦公式化简得到，再利用正弦定理将边转化为角得到求解.（2）根据的外接圆半径为，得到，进而得到，然后利用余弦定理得到，代入三角形面积公式求解.解答：(1)由得，所以，即，因为，所以.由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）因为的外接圆半径为，所以，所以
12、，由余弦定理得，所以，得，所以的面积.点拨：方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.（1）确定E的位置，使平面；（2）设，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值.（1）E为的中点；（2）.分析：（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）分别以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.解答：（1）E为的中点，证明
13、：连接，使交于点O，取的中点为E，连接，O，E分别为，的中点，.又平面，平面，平面.（2）分别以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为.设平面的法向量为，由，令，则，二面角的平面角的余弦值为.点拨：本题主要考查了证明线面垂直，考查了求二面角的余弦值，属于中档题.21. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，点是直线上任意一点，求证：直线，的斜率成等差数列（1）；（2）证明见解析.分析：（1）设，由椭圆的定义得到，在中，根据，的面积为，利用面积公式和余弦定理以及求解.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理证明即可.解答：（1）设，则，在中，即，由余弦定理可得，即，代入计算可得，又，则椭圆的方程为；（2）设，设直线的方程为：，由，得， ，因为，所以，所以直线，的斜率成等差数列点拨：方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等
