1、第2课时复合函数求导及应用核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P16“思考”P17的内容，回答下列问题函数yln(x2)与函数ylnu和ux2之间有什么关系？提示：yln(x2)是由函数ylnu和ux2复合而成的复合函数2归纳总结，核心必记(1)复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积问题思考(1)
2、函数ylog2(x23x5)是由哪些函数复合而成的？提示：ylog2(x23x5)是由ylog2u，ux23x5复合而成(2)函数yln (2x1)的导函数是什么？提示：yln (2x1)是由函数ylnu和u2x1复合而成的，yxyuux(2x1).课前反思(1)复合函数的概念是什么？(2)复合函数的求导公式是什么？知识点1简单复合函数求导问题讲一讲1(链接教材P17例4)求下列函数的导数(1)y；(2)yeSinx；(3)ySin；(4)y5log2(2x1)尝试解答(1)设yu，u12x2，则y(12x2)(4x)(12x2)(4x) .(2)设yeu，uSinx，则yxyuuxeucoS
3、xeSinxcoSx.(3)设ySinu，u2x，则yxyuuxcoSu22coS.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).复合函数求导的步骤练一练1求下列函数的导数(1)f(x)(2x1)2；(2)f(x)ln (4x1)；(3)f(x)23x2；(4)f(x)；(5)f(x)Sin；(6)f(x)coS2x.解：(1)设yu2，u2x1，则yyuux2u(2)4(2x1)8x4.(2)设ylnu，u4x1，则yyuux4.(3)设y2u，u3x2，则yyuux2uln 233ln 223x2.(4)设y，u5x4，则yyuux5 .(5)设ySinu，u3x，则y
4、yuuxcoSu33coS.(6)法一：设yu2，ucoSx，则yyuux2u(Sinx)2coSxSinxSin 2x；法二：f(x)coS2xcoS 2x，所以f(x)0(Sin 2x)2Sin 2x.知识点2复合函数与导数运算法则的综合应用讲一讲2求下列函数的导数(1)yx；(2)yxcoSSin.尝试解答(1)y(x)xx() .(2)yxcoSSinx(Sin 2x)coS 2xxSin 4x，ySin 4xcoS 4x4Sin 4x2xcoS 4x.类题通法复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法
5、则求导的函数如讲2(2)，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导练一练2求下列函数的导数(1)ySin2；(2)ySin3xSinx3；(3)y；(4)yxln(1x)解：(1)y2Sin2SincoSSin.(2)y(Sin3xSinx3)(Sin3x)(Sinx3)3Sin2xcoSxcoSx33x23Sin2xcoSx3x2coSx3.(3)y .(4)yxln(1x)xln(1x).知识点3复合函数导数的综合问题讲一讲3. 设f(x)ln(x1)axb(a，b
6、R，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值思路点拨当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点尝试解答由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.类题通法本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键练一练3曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1解析：选A依题意得
7、ye2x(2)2e2x，yx02e202.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y 22x，即y2x2.在坐标系中作出直线y2x2、y0与yx的图象，因为直线y2x2与yx的交点坐标是，直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于1.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.3求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点(3)逐层求导结束后对结果进行化简
8、整理，使导数式尽量简洁课下能力提升(四)学业水平达标练题组1简单复合函数求导问题1函数ycoS(x)的导数是()AcoSx BcoSxCSinx DSinx解析：选CySin (x)(x)Sinx.2ycoS3x的导数是()Ay3coS2xSinxBy3coS2xCy3Sin2xDy3coSxSin2x解析：选A令tcoSx，则yt3，yyttx3t2(Sinx)3coS2xSinx.3设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选D令yaxln(x1)，则f(x)a.所以f(0)0，且f(0)2.联立解得a3.4求下列函数的导数(1)yln(
9、exx2)；(2)y102x3；(3)ySin4xcoS4x.解：(1)令uexx2，则ylnu.yxyuux(exx2)(ex2x).(2)令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2102x3ln 10.(3)ySin4xcoS4x(Sin2xcoS2x)22Sin2xcoS2x1Sin22x1(1coS 4x)coS 4x.所以ySin 4x.题组2复合函数与导数运算法则的综合应用5函数yx2coS 2x的导数为()Ay2xcoS 2xx2Sin 2xBy2xcoS 2x2x2Sin 2xCyx2coS 2x2xSin 2xDy2xcoS 2x2x2Sin 2x解析：
10、选By(x2)coS 2xx2(coS 2x)2xcoS 2xx2(Sin 2x)(2x)2xcoS 2x2x2Sin 2x.6函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.解析：选Byxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x(2x5)ln(2x5).7函数ySin 2xcoS 3x的导数是_解析：ySin 2xcoS 3x，y(Sin 2x)coS 3xSin 2x(coS 3x)2coS 2xcoS 3x3Sin 2xSin 3x.答案：2coS 2xcoS 3x3Sin 2xSin 3x8已知f(x)exSin x，
11、求f(x)及f.解：f(x)exSin x，f(x)exSin xexcoS xex(Sin xcoS x)fee.题组3复合函数导数的综合问题9曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A. B2 C3 D0解析：选A设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，yxx02，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线2xy30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.10放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中
12、，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln 2太贝克C150ln 2 太贝克 D150太贝克解析：选DM(t)ln 2M02，由M(30)ln 2M0210 ln 2，解得M0600，所以M(t)6002，所以t60时，铯137的含量为M(60)6002600150(太贝克)能力提升综合练1函数y(2 0188x)3的导数y()A3(2 0188x)2 B24xC24(2 0188x)2 D24(2 0188x2)解析：选Cy3(
13、2 0188x)2(2 0188x)3(2 0188x)2(8)24(2 0188x)2.2函数y(exex)的导数是()A.(exex) B.(exex)Cexex Dexex解析：选Ay(exex)(exex)3已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2解析：选B设切点坐标是(x0，x01)，依题意有由此得x010，x01，a2.4函数yln在x0处的导数为_解析：ylnln exln(1ex)xln(1ex)，则y1.当x0时，y1.答案：5设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析：令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)
14、处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.答案：26f(x)且f(1)2，则a的值为_解析：f(x)(ax21)，f(x)(ax21)(ax21) .又f(1)2，2，a2.答案：27求函数yaSinbcoS22x(a，b是实常数)的导数解：acoScoS，又(coS22x)(Sin 4x)42Sin 4x，yaSinbcoS22x的导数为yb(coS22x)coS2bSin 4x.8曲线ye2xcoS 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程解：由题意知y(e2x)coS 3xe2x(coS 3x)2e2xcoS 3x3(Sin 3x)e2x2e2xcoS 3x3e2xSin 3x，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为ky|x02.所以该切线方程为y12x，即y2x1.设l的方程为y2xm，则d.解得m4或m6.当m4时，l的方程为y2x4; 当m6时，l的方程为y2x6.综上，可知l的方程为y2x4或y2x6.
