1、第3讲等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqa；(
2、2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)4等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，an是递减数列；当q1时，an是常数列5等比数列与指数函数的关系当q1时，anqn，可以看成函数ycqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列an各项所对应的点都在函数ycqx的图象上 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)满足an1qan(nN
3、*，q为常数)的数列an为等比数列()(4)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(5)等比数列中不存在数值为0的项()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q()AB2C2D.解析：选D.由通项公式及已知得a1q2，a1q4，由得q3，解得q.故选D. 已知数列an满足anan1，若a3a42，则a4a5()A. B1C4D8解析：选C.法一：因为anan1得2，所以an为等比数列，其公比为2，又a3a42得a1，则a4a5a1q3a1q44.法二：已知anan1，可得an12an，所以a4a52a32a42
4、(a3a4)224. 设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an的前7项和为_解析：设等比数列an的公比为q(q0)，由a5a1q416，a11，得16q4，解得q2，所以S7127.答案：127 (2017高考北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a413d8，解得d3；b41q38，解得q2.所以a2132，b21(2)2，所以1.答案：1等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题高考对等比数列的基本运算的考查
5、常有以下三个命题角度：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和典例引领角度一求首项a1、公比q或项数n (2018武汉市武昌区调研考试)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1()A2B1C. D. 【解析】由S23a22，S43a42得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11.【答案】B角度二求通项或特定项 (方程思想)(2018合肥模拟)设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列，则
6、an_【解析】由已知得：解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7，即2q25q20，解得q12，q2.由题意得q1，所以q2，所以a11.故数列an的通项公式为an2n1.【答案】2n1角度三求前n项和 (2016高考全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和【解】(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn，得bn1，因此数列bn是首项为1，
7、公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.解决等比数列有关问题的三种常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或当成整体进行求解 通关练习1设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k()A4B5C6D7解析：选C.设等比数列an的公比为q，由已知a11，a34，得q24.
8、又an的各项均为正数，所以q2.而Sk63，所以2k163，解得k6.2(2017高考江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_解析：设等比数列an的公比为q，则由S62S3得q1，则S3，S6，解得q2，a1，则a8a1q72732.答案：323(2017高考全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解：设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍
9、去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200，解得q5，q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.等比数列的判定与证明 典例引领 已知数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1.(1)求证：数列cn是等比数列；(2)求Sn.【解】(1)证明：由anSnn，得a1S11，即2a11，解得a1.又an1Sn1n1，由得an1an(Sn1Sn)1，即2an1an1，因为cnan1，所以ancn1，an1cn11，代入式，得2(cn11)(cn1)1，整理得2cn1cn，故(常数)所以数列cn是一个首项c1a111，公比为的等比数列(2
10、)由(1)知，cn，所以ancn11，所以Snnn1.等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成ancqn1(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数
11、列即可 通关练习1已知等比数列an的前n项和为Sna2n1，则a的值为()AB.CD.解析：选A.法一：当n2时，anSnSn1a2n1a2n2a2n2，当n1时，a1S1a，所以a，所以a.法二：因为等比数列的前n项和Snkqnk，则a，a.2数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，设bnan12an.(1)求证：bn是等比数列；(2)设cn，求证：cn是等比数列证明：(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因为S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bn32n1an12an，
12、所以3.所以数列是等差数列，公差为3，首项为2.所以2(n1)33n1.所以an(3n1)2n2，所以cn2n2.所以2.所以数列cn为等比数列等比数列的性质(高频考点)等比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等高考对等比数列的性质的考查常有以下两个命题角度：(1)等比数列项的性质的应用；(2)等比数列前n项和的性质的应用典例引领角度一等比数列项的性质的应用 (1)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x80的根，则的值为()A2B4C2或2D4或4(2)(2018武汉华师附中调研)数列an的通项公式为an2n1，则使不等式aaa52n1成立的n的最大值为()A
13、2B3C4D5【解析】(1)因为a3，a15是方程x26x80的根，所以a3a158，a3a156，易知a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17aa3a158，所以a92，2，故选A.(2)因为an2n1，a4n1，所以aaa(4n1)因为aaa52n1，所以(4n1)52n1，所以2n(2n30)1，对n进行赋值，可知n的最大值为4.【答案】(1)A(2)C角度二等比数列前n项和的性质的应用 等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15的值为()A1B2C3D5【解析】法一：因为an为等比数列，所以a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，所以(a5a7)2
14、(a1a3)(a9a11)，故a9a112.同理，a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.所以a9a11a13a15213.法二：在等比数列an中，得q4，所以a9a11a13a15q8(a1a3a5a7)(84)3.【答案】C等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 通关练习1已知等比数列an中，a4a82，则a6(a22a6a10)的值为()A4B6C8D9解析：选A.a
15、6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2，因为a4a82，所以a6(a22a6a10)4.2设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. BC. D. 解析：选A.因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.所以a7a8a9.3在等比数列an中，公比q2，前87项的和S87140，则a3a6a9a87()A20B56C80D136解析：选C.法一：a3a6a9a87a3(1q3q6q84)a1q214080.故选C.法二：设b1a1a4a7a
16、85，b2a2a5a8a86，b3a3a6a9a87，因为b1qb2，b2qb3，且b1b2b3140，所以b1(1qq2)140，又1qq27，所以b120，b3q2b142080.故选C. 等比数列的单调性当或时，an是递增数列；当或时，an是递减数列；当q1时，an为常数列；当q，前3天走的路程为1929648336(里)，则后3天走的路程为37833642(里)，故选C.3已知直线ln：yx与圆Cn：x2y22ann交于不同的两点An，Bn，nN*，数列an满足：a11，an1|AnBn|2，则数列an的通项公式为_解析：圆Cn的圆心到直线ln的距离dn，半径rn，故an1|AnBn|
17、2rd2an，故数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故an2n1(nN*)答案：an2n1(nN*)4设数列an的前n项和为Sn，已知a1，且对任意正整数m，n都有amnaman，若Sna恒成立，则实数a的最小值为_解析：因为amnaman，令m1得an1a1an，即a1，所以an为等比数列，所以an，所以Sn，所以a.故a的最小值为.答案：5(2018成都市第一次诊断性检测)已知数列an满足a12，an12an4.(1)证明数列an4是等比数列；(2)求数列|an|的前n项和Sn.解：(1)证明：因为a12，所以a142.因为an12an4，所以an142an82(an4)，所以2，所
18、以an4是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)，可知an42n，所以an2n4.当n1时，a120，所以S1|a1|2；当n2时，an0.所以Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)2n14n2.又当n1时，上式也满足所以当nN*时，Sn2n14n2.6(2018湖北黄冈调研)数列an中，a12，an1an(nN*)(1)证明：数列是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bn，若数列bn的前n项和是Tn，求证：Tn2.解：(1)由题设得，又2，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以222n，ann22n.(2)证明：bn，因为对任意nN*，2n12n1，所以bn.所以Tn122.